Bài 6.19 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 6.19 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Một nhóm có 25 học sinh, trong đó có 14 em học khá môn Toán, 16 em học khá môn Vật lí, 1 em không học khá cả hai môn Toán và môn Vật lí. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong số đó. Tính xác suất để học sinh đó:

a) Học khá môn Toán, đồng thời học khá môn Vật lí;

b) Học khá môn Toán, nhưng không học khá môn Vật lí;

c) Học khá môn Toán, biết rằng học sinh đó học khá môn Vật lí.

Phân tích bài toán

Đây là bài toán vận dụng các công thức tính xác suất của hợp, giao và xác suất có điều kiện.

• Dữ kiện chính: Tổng số học sinh ($n=25$), số học sinh khá Toán ($14$), số học sinh khá Lý ($16$).

• Dữ kiện quan trọng: 1 em không khá cả hai môn. Điều này giúp chúng ta xác định được số học sinh có học khá ít nhất một trong hai môn (Toán hoặc Lý).

• Công cụ giải: Công thức cộng xác suất $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$ và công thức xác suất có điều kiện.

Giải bài 6.19 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Gọi các biến cố như sau:

• $A$: “Học sinh được chọn học khá môn Toán”.

• $B$: “Học sinh được chọn học khá môn Vật lí”.

Từ dữ kiện đề bài, ta có các xác suất ban đầu:

• $P(A) = \frac{14}{25}$

• $P(B) = \frac{16}{25}$

• $P(\overline{A}\overline{B}) = \frac{1}{25}$ (Xác suất học sinh không khá cả hai môn).

a) Học khá môn Toán và học khá môn Vật lí ($P(AB)$)

Trước hết, ta tính xác suất học sinh học khá ít nhất một môn ($A \cup B$):

Áp dụng công thức cộng xác suất:

b) Học khá môn Toán nhưng không học khá môn Vật lí ($P(A\overline{B})$)

Biến cố "Khá Toán nhưng không khá Lý" chính là phần của $A$ mà không giao với $B$.

Vì $A = AB \cup A\overline{B}$ và hai biến cố này xung khắc, ta có:

c) Khá Toán khi biết đã khá Lý ($P(A | B)$)

Đây là xác suất có điều kiện, với điều kiện là học sinh đó nằm trong nhóm khá Lý ($B$).

Áp dụng công thức xác suất có điều kiện:

Kết luận:

• a) Xác suất là 6/25.

• b) Xác suất là 8/25.

• c) Xác suất là 3/8.

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Công thức xác suất của hợp: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$.

• Xác suất hiệu: $P(A\overline{B}) = P(A) - P(AB)$.

• Xác suất có điều kiện: $P(A | B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm lẫn giữa "biết rằng" và "đồng thời": Ở câu a và c, học sinh thường dùng sai công thức. Hãy nhớ "biết rằng" là điều kiện (mẫu số thay đổi), còn "đồng thời" là phần giao (mẫu số giữ nguyên theo không gian mẫu ban đầu).

• Quên tính phần giao: Nhiều bạn lấy luôn $14 + 16 = 30$, lớn hơn tổng số học sinh 25. Điều này chứng tỏ có sự chồng lấn giữa hai nhóm mà bạn cần phải trừ đi.

Mẹo giải nhanh

Đối với các bài toán tập hợp lớp 12, hãy sử dụng Biểu đồ Venn hoặc bảng số liệu:

1. Tổng khá ít nhất 1 môn là $25 - 1 = 24$.

2. Số em khá cả 2 môn là: $14 + 16 - 24 = 6$ em.

3. Câu a: $6/25$.

4. Câu b: Khá Toán (14) trừ đi khá cả hai (6) $= 8$ em $\Rightarrow 8/25$.

5. Câu c: Lấy số em khá cả hai (6) chia cho tổng số em khá Lý (16) $\Rightarrow 6/16 = 3/8$.

   Cách tư duy theo số lượng học sinh cụ thể giúp các em tránh nhầm lẫn công thức phân số phức tạp!