Bài 6.8 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức: Xác suất bắt thỏ giữa hai chuồng

Bài 6.8 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Có hai chuồng thỏ. Chuồng I có 5 con thỏ đen và 10 con thỏ trắng. Chuồng II có 7 con thỏ đen và 3 con thỏ trắng. Trước tiên, từ chuồng II lấy ra ngẫu nhiên 1 con thỏ rồi cho vào chuồng I. Sau đó, từ chuồng I lấy ra ngẫu nhiên 1 con thỏ. Tính xác suất để con thỏ được lấy ra là con thỏ trắng.

Phân tích bài toán

Bài toán này thực hiện qua hai công đoạn liên tiếp, trong đó kết quả của công đoạn 1 (con thỏ từ chuồng II là màu gì) trực tiếp làm thay đổi cấu trúc của công đoạn 2 (số lượng thỏ trong chuồng I).

• Công cụ giải: Công thức xác suất toàn phần.

• Các kịch bản: 1. Con thỏ chuyển sang là thỏ trắng. 2. Con thỏ chuyển sang là thỏ đen.

Giải bài 6.8 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Gọi $A$ là biến cố: “Con thỏ lấy từ chuồng II sang chuồng I là thỏ trắng”.

Khi đó $\overline{A}$ là biến cố: “Con thỏ lấy từ chuồng II sang chuồng I là thỏ đen”.

Gọi $B$ là biến cố: “Con thỏ lấy ra từ chuồng I sau cùng là thỏ trắng”. Chúng ta cần tính $P(B)$.

Bước 1: Tính xác suất của các kịch bản chuyển thỏ ($P(A)$ và $P(\overline{A})$)

Chuồng II có tổng cộng $7 + 3 = 10$ con thỏ (7 đen, 3 trắng).

• Xác suất chuyển thỏ trắng: $P(A) = \frac{3}{10}$

• Xác suất chuyển thỏ đen: $P(\overline{A}) = \frac{7}{10}$

Bước 2: Tính xác suất có điều kiện tại chuồng I ($P(B|A)$ và $P(B|\overline{A})$)

Chuồng I ban đầu có 15 con thỏ (5 đen, 10 trắng). Sau khi nhận thêm 1 con từ chuồng II, tổng số thỏ ở chuồng I là 16 con.

• Trường hợp 1: Nếu $A$ xảy ra (chuyển 1 thỏ trắng sang)

  Chuồng I lúc này có: $10 + 1 = 11$ thỏ trắng và 5 thỏ đen.

  $\Rightarrow P(B|A) = \frac{11}{16}$

• Trường hợp 2: Nếu $A$ không xảy ra (chuyển 1 thỏ đen sang)

  Chuồng I lúc này có: 10 thỏ trắng và $5 + 1 = 6$ thỏ đen.

  $\Rightarrow P(B|\overline{A}) = \frac{10}{16}$

Bước 3: Áp dụng công thức xác suất toàn phần

Xác suất để con thỏ lấy ra từ chuồng I là thỏ trắng là:

Thay các giá trị đã tính:

Kết luận: Vậy xác suất để con thỏ được lấy ra là con thỏ trắng là $103/160$ (xấp xỉ 0,6438).

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Công thức xác suất toàn phần: Giúp tính xác suất của một biến cố thông qua một hệ đầy đủ các biến cố khác.

• Lưu ý quan trọng: Khi chuyển một phần tử từ nhóm này sang nhóm khác, không gian mẫu của nhóm nhận phải tăng lên 1.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Quên tăng số lượng thỏ ở mẫu số: Học sinh thường giữ nguyên mẫu số là 15 thay vì 16. Hãy nhớ: Chuồng I đã "nhận thêm" nên tổng số thỏ phải thay đổi.

• Nhầm lẫn số thỏ trắng/đen: Cần đọc kỹ kịch bản $A$ hay $\overline{A}$ để cộng thêm 1 vào đúng màu thỏ tương ứng.

Mẹo giải nhanh

Trong các bài thi trắc nghiệm, các em có thể viết nhanh biểu thức:

$P = \frac{(\text{Trắng II}) \cdot (\text{Trắng I} + 1) + (\text{Đen II}) \cdot (\text{Trắng I})}{(\text{Tổng II}) \cdot (\text{Tổng I} + 1)}$

Áp dụng: $P = \frac{3 \cdot 11 + 7 \cdot 10}{10 \cdot 16} = \frac{33 + 70}{160} = \frac{103}{160}$.

Công thức này giúp các em ra ngay kết quả chỉ sau một lần bấm máy!