Bài 4.21 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức: Họ nguyên hàm của hàm số mũ

Bài 4.21 SGK Toán 12Tập 2 Kết nối tri thức:

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số 2ex là

A. 2xe^x + C.

B. −2e^x + C.

C. 2e^x.

D. 2e^x + C.

Phân tích nhanh

• Dạng toán: Tìm họ nguyên hàm của hàm số chứa hằng số $k \cdot f(x)$.

• Công thức áp dụng:

  1. Tính chất đưa hằng số ra ngoài dấu nguyên hàm: $\int k \cdot f(x) \, dx = k \int f(x) \, dx$.

  2. Công thức nguyên hàm của hàm số mũ $e^x$: $\int e^x \, dx = e^x + C$.

• Hệ số xác định: Trong bài này, hằng số $k = 2$.

Giải bài 4.21 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Đáp án đúng: D

Ta thực hiện tính họ nguyên hàm như sau:

Giải thích:

• Hằng số $2$ được đưa ra ngoài dấu nguyên hàm.

• Nguyên hàm của hàm số $e^x$ là chính nó ($e^x$).

• Vì đây là yêu cầu tìm họ tất cả các nguyên hàm nên bắt buộc phải có hằng số $C$.

Tổng kết kiến thức

1. Hàm số mũ đặc biệt: Hàm số $y = e^x$ là hàm số duy nhất (ngoài hàm 0) có đạo hàm và nguyên hàm đều bằng chính nó.

2. Định nghĩa họ nguyên hàm: Một hàm số $F(x)$ được gọi là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ nếu $F'(x) = f(x)$. Tập hợp $F(x) + C$ được gọi là họ tất cả các nguyên hàm.

Những lỗi hay mắc phải

• Thiếu hằng số $C$: Rất nhiều bạn chọn đáp án C ($2e^x$) vì tính đúng phần hàm số nhưng quên mất định nghĩa của "họ nguyên hàm". Đáp án không có $C$ chỉ là một nguyên hàm cụ thể.

• Nhầm với đạo hàm của tích: Chọn đáp án A ($2xe^x + C$) do nhầm lẫn sang quy tắc đạo hàm của hàm hợp hoặc tích.

• Nhầm dấu: Chọn đáp án B ($-2e^x + C$) do nhầm lẫn sang nguyên hàm của các hàm lượng giác như $\sin x$.

Mẹo giải nhanh

Đối với các bài trắc nghiệm về hàm số mũ $e^x$:

• Giữ nguyên "linh hồn": Thấy $e^x$ trong đề bài thì trong kết quả nguyên hàm chắc chắn phải có cụm $e^x$.

• Kiểm tra đuôi $C$: Nếu đề hỏi "Họ nguyên hàm", hãy loại ngay tất cả các đáp án không có $+ C$.

• Hệ số: Hằng số đi kèm hàm số mũ (nếu không nằm trên số mũ) sẽ được giữ nguyên.