Bài 5.4 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức chi tiết nhất

Bài 5.4 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua M(2; 3; −1), song song với trục Ox và vuông góc với mặt phẳng (Q): x + 2y – 3z + 1 = 0.

Phân tích nhanh

Để viết phương trình mặt phẳng $(P)$, ta cần tìm một điểm đi qua và một vectơ pháp tuyến (VTPT):

1. Điểm đi qua: Đề bài đã cho điểm $M(2; 3; -1)$.

2. Vectơ pháp tuyến: * Vì $(P) \parallel Ox$, nên VTPT của $(P)$ vuông góc với vectơ đơn vị $\vec{i}$ của trục $Ox$.

   • Vì $(P) \perp (Q)$, nên VTPT của $(P)$ vuông góc với VTPT của mặt phẳng $(Q)$.

   • Vậy VTPT $\vec{n}_P$ chính là tích có hướng của $\vec{i}$ và $\vec{n}_Q$.

Giải bài 5.4 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Gọi mặt phẳng cần tìm là $(P)$.

Bước 1: Xác định các vectơ liên quan

• Trục $Ox$ có vectơ đơn vị là: $\vec{i} = (1; 0; 0)$.

• Mặt phẳng $(Q)$ có vectơ pháp tuyến là: $\vec{n}_Q = (1; 2; -3)$.

Bước 2: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$

Do mặt phẳng $(P)$ song song với trục $Ox$ và vuông góc với mặt phẳng $(Q)$ nên $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là:

Bước 3: Lập phương trình mặt phẳng $(P)$

Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(2; 3; -1)$ và có VTPT $\vec{n}_P = (0; 3; 2)$ có phương trình là:

Kết luận: Phương trình mặt phẳng cần tìm là $3y + 2z - 7 = 0$.

Tổng kết kiến thức

• Vectơ đơn vị: Nhớ chính xác $\vec{i}=(1;0;0), \vec{j}=(0;1;0), \vec{k}=(0;0;1)$.

• Tích có hướng: Khi một mặt phẳng song song hoặc chứa một đường thẳng, đồng thời vuông góc với một mặt phẳng khác, ta sử dụng tích có hướng để tìm VTPT.

• Dạng phương trình: Nếu hệ số $A = 0$, mặt phẳng sẽ song song hoặc chứa trục $Ox$.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Xác định sai vectơ đơn vị: Nhầm lẫn giữa các trục $Ox, Oy, Oz$ dẫn đến chọn sai vectơ đơn vị.

• Sai sót khi tính tích có hướng: Quên dấu trừ ở công thức tính tung độ (cột giữa) nếu không dùng định thức hoặc tính nhầm các giá trị $0$.

• Kết luận thiếu: Một số bạn khi thấy phương trình không có $x$ (do $A=0$) thì ngỡ ngàng và tưởng mình tính sai. Thực tế, mặt phẳng $3y + 2z - 7 = 0$ chính là mặt phẳng song song với trục $Ox$.

Mẹo giải nhanh

Đối với bài toán trắc nghiệm:

1. Loại trừ: Vì mặt phẳng song song với $Ox$ nên phương trình chắc chắn không chứa biến $x$. Bạn có thể loại ngay các đáp án có $x$.

2. Kiểm tra tính vuông góc: VTPT của đáp án $\vec{n}_P$ nhân vô hướng với $\vec{n}_Q$ phải bằng $0$.

   • Ví dụ: $(0; 3; 2) \cdot (1; 2; -3) = 0 + 6 - 6 = 0$ (Đúng).

3. Thay điểm: Thay tọa độ $M(2; 3; -1)$ vào phương trình, nếu thỏa mãn $0=0$ thì đó là đáp án đúng.