Bài 4.13 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức

Đề bài 4.13 Toán 12 kết nối tri thức:

Giả sử vận tốc v của dòng máu ở khoảng cách r từ tâm của động mạch bán kính R không đổi, có thể được mô hình hóa bởi công thức v = k(R² – r²), trong đó k là một hằng số. Tìm vận tốc trung bình (đối với r) của động mạch trong khoảng 0 ≤ r ≤ R. So sánh vận tốc trung bình với vận tốc lớn nhất.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

1. Vận tốc trung bình ($v_{tb}$): Vận tốc trung bình của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[a, b]$ được tính bằng công thức:

   $$\mathbf{v_{tb} = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f(x) dx}$$

   Ở đây, $f(r) = v(r)$, đoạn $[a, b] = [0, R]$.

2. Vận tốc lớn nhất ($v_{max}$): Hàm số $v(r)$ là hàm bậc hai theo $r$ và quay bề lõm xuống dưới ($a = -k < 0$). $v(r)$ đạt giá trị lớn nhất tại $r=0$ (tâm động mạch).

Lời giải chi tiết bài 4.13 Toán 12 KNTT:

Vận tốc trung bình của động mạch là:

$v_{tb}=\frac{1}{R-0}\int_{0}^{R}v(r)dr$ $=\frac{1}{R}\int_{0}^{R}k(R^2-r^2)dr$

$\left.\begin{matrix}=\frac{1}{R}k\left(R^2r-\frac{r^3}{3}\right)\\\end{matrix}\right|_{0}^{R}=\frac{2}{3}kR^2$

Do đó, vận tốc trung bình của động mạch là $\frac{2}{3}kR^2$

Vì 0 ≤ r ≤ R nên vận tốc lớn nhất của động mạch là kR² khi r = 0.

Do đó $v_{tb}=\frac{2}{3}v_{max}$