Bài 4.15 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức

Đề bài 4.15 Toán 12 Kết nối tri thức:

Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

a) y = e^x, y = x² – 1, x = −1, x = 1;

b) y = sinx, y = x, $x=\frac{\pi}{2},\,x=\pi$

c) y = 9 – x², y = 2x², $x=-\sqrt{3},\,x=\sqrt{3}$

d) , y = x², x = 0, x = 1.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=f(x)$ và $y=g(x)$ trên đoạn $[a, b]$ là:

Ta cần xác định dấu của hàm $f(x) - g(x)$ trên $[a, b]$ để phá dấu trị tuyệt đối.

Lời giải chi tiết bài 4.15 Toán 12 KNTT:

a) Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường như sau:

$S=\int_{-1}^{1}|e^x-x^2+1|dx$ $=\int_{-1}^{1}(e^x-x^2+1)dx$

$\left.\begin{matrix}=\left(e^x-\frac{x^3}{3}+x\right)\\\end{matrix}\right|_{-1}^{1}$ $=e+\frac{2}{3}-e^{-1}+\frac{2}{3}$ $=\frac{e^2-1}{e}+\frac{4}{3}$

b) Diện tích cần tính là:

$S=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}|sinx-x|dx$ $=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}(x-sinx)dx$

$\left.\begin{matrix}=\left(\frac{x^2}{2}+cosx\right)\\\end{matrix}\right|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}$ $=\frac{\pi^2}{2}-1-\frac{\pi^2}{8}=\frac{3\pi^2}{8}-1$

c) Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường như sau:

Diện tích cần tính là:

$S=\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}|9-x^2-2x^2|dx$ $=\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}|9-3x^2|dx$ $=\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}(9-3x^2)dx$

$\left.\begin{matrix}=\left(9x-x^3\right)\\\end{matrix}\right|_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}$ $=9\sqrt{3}-3\sqrt{3}+9\sqrt{3}-3\sqrt{3}=12\sqrt{3}$

d) Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường như sau:

Diện tích cần tính là:

$S=\int_{0}^{1}|\sqrt{x}-x^2|dx$ $=\int_{0}^{1}(\sqrt{x}-x^2)dx$$\left.\begin{matrix}=\left(\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}-\frac{x^3}{3}}\right)\\\end{matrix}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{3}$