Bài 4.26 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức: Thể tích khối tròn xoay

Bài 4.26 SGK Toán 12Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho hình phẳng (S) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{1-x^2}y=\sqrt{1-x^2}$, trục hoành và hai đường thẳng x = −1, x = 1. Thể tích của khối tròn xoay khi quay (S) quanh trục Ox là

A. 3π/4

B. 3π/2

C. 2π/3

D. 4π/3

Phân tích nhanh

• Dạng toán: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y = f(x)$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x = a, x = b$ quanh trục $Ox$.

• Công thức áp dụng:

  $$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx$$

• Các thông số: $f(x) = \sqrt{1 - x^2}$, cận $a = -1, b = 1$.

Giải bài 4.26 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Đáp án đúng: D

Bước 1: Thiết lập biểu thức tính thể tích

Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay quay quanh trục $Ox$:

Bước 2: Tìm nguyên hàm và tính giá trị

Ta có nguyên hàm của $1 - x^2$ là $x - \frac{x^3}{3}$.

Áp dụng định lý Newton-Leibniz:

Thay cận vào biểu thức:

Vậy thể tích khối tròn xoay cần tìm là $4\pi/3$.

Tổng kết kiến thức

1. Công thức thể tích: Khác với diện tích, công thức thể tích luôn có hằng số $\pi$ và hàm số phải được bình phương $[f(x)]^2$.

2. Hình dạng thực tế: Các em có thể nhận ra $y = \sqrt{1 - x^2}$ là phương trình nửa đường tròn phía trên trục hoành. Khi quay quanh trục $Ox$, nó tạo thành một hình cầu bán kính $R=1$. Công thức thể tích hình cầu là $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, thay $R=1$ ta cũng ra kết quả $4\pi/3$.

Những lỗi hay mắc phải

• Quên hằng số $\pi$: Đây là lỗi phổ biến nhất khiến học sinh chọn các đáp án chỉ có phần số mà thiếu $\pi$.

• Không bình phương hàm số: Tính tích phân của $\sqrt{1 - x^2}$ thay vì $(1 - x^2)$. Tích phân này phức tạp hơn và thường dẫn đến kết quả sai.

• Nhầm với diện tích: Dùng công thức diện tích (có dấu giá trị tuyệt đối, không có $\pi$, không có bình phương).

Mẹo giải nhanh

Đối với các bài trắc nghiệm có hàm số đặc biệt:

• Nhận diện hình: Nếu thấy hàm số dạng $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ với cận từ $-R$ đến $R$, đây là bài toán tính thể tích hình cầu. Các em chỉ cần dùng công thức $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ để ra đáp án ngay lập tức mà không cần đặt bút tính tích phân.

• Bấm máy tính: Sử dụng lệnh tích phân trên Casio: π * ∫((1 - x²), -1, 1). Kết quả sẽ hiện ra ngay lập tức là 4.188... (tương đương $4\pi/3$).