Bài 4.28 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức: Tìm họ nguyên hàm

Bài 4.28 SGK Toán 12Tập 2 Kết nối tri thức:

Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau:

a) $y=2^x-\frac{1}{x}$

b) $y=x\sqrt{x}+3cosx-\frac{2}{sin^2x}$

Phân tích nhanh

• Dạng toán: Tìm nguyên hàm của tổng/hiệu các hàm số sơ cấp.

• Kiến thức cần nhớ:

  • Nguyên hàm hàm số mũ: $\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$.

  • Biến đổi căn thức: $x\sqrt{x} = x^1 \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}$.

  • Nguyên hàm lượng giác: $\int \cos x \, dx = \sin x + C$ và $\int \frac{1}{\sin^2 x} \, dx = -\cot x + C$.

Giải bài 4.28 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

a) Tìm nguyên hàm của hàm số $y = 2^x - \frac{1}{x}$

Áp dụng tính chất nguyên hàm của một hiệu và bảng nguyên hàm cơ bản, ta có:

b) Tìm nguyên hàm của hàm số $y = x\sqrt{x} + 3\cos x - \frac{2}{\sin^2 x}$

Trước hết, ta biến đổi số hạng đầu tiên: $x\sqrt{x} = x^{\frac{3}{2}}$.

Khi đó, nguyên hàm của hàm số được tính như sau:

Tính từng thành phần:

• $\int x^{\frac{3}{2}} \, dx = \frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1} = \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} = \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}$

• $3\int \cos x \, dx = 3\sin x$

• $-2\int \frac{1}{\sin^2 x} \, dx = -2(-\cot x) = 2\cot x$

Vậy họ nguyên hàm cần tìm là:

Tổng kết kiến thức

1. Nguyên hàm mũ $2^x$: Rất nhiều học sinh nhầm lẫn với $e^x$, hãy nhớ phải chia cho $\ln 2$.

2. Biến đổi lũy thừa: Luôn đưa các biểu thức chứa căn thức về dạng $x^n$ để áp dụng công thức $\frac{x^{n+1}}{n+1}$.

3. Dấu trong lượng giác: Cẩn thận với dấu của nguyên hàm $\frac{1}{\sin^2 x}$ và $\cos x$.

Những lỗi hay mắc phải

• Quên dấu giá trị tuyệt đối: Ở câu (a), nguyên hàm của $1/x$ là $\ln |x|$, thiếu dấu giá trị tuyệt đối sẽ bị trừ điểm.

• Nhầm lẫn nguyên hàm - đạo hàm: Tính $\int \cos x \, dx = -\sin x$ (đây là đạo hàm). Hãy nhớ nguyên hàm của cos là sin (không có dấu trừ).

• Sai hệ số câu (b): Ở số hạng cuối, $-2 \cdot (-\cot x)$ phải đổi dấu thành $+2\cot x$.

Mẹo giải nhanh

• Kiểm tra đáp án: Nếu là bài tập trắc nghiệm, các em có thể lấy đạo hàm của kết quả. Ví dụ, đạo hàm $\frac{2^x}{\ln 2}$ sẽ khử được $\ln 2$ và quay lại đúng $2^x$.

• Bấm máy tính: Sử dụng tính năng đạo hàm tại một điểm d/dx cho các đáp án và so sánh với giá trị của hàm số đề bài tại điểm đó để tìm ra kết quả đúng nhanh nhất.