Bài 5.1 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức: Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với trục Ox

Bài 5.1 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(1; 2; −1) và vuông góc với trục Ox.

Phân tích nhanh

Để viết được phương trình mặt phẳng, chúng ta cần xác định hai yếu tố:

1. Một điểm thuộc mặt phẳng: Đề bài đã cho là điểm $M(1; 2; -1)$.

2. Vectơ pháp tuyến (VTPT): Vì mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$, nên nó sẽ nhận vectơ đơn vị của trục $Ox$ làm VTPT.

Giải bài 5.1 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Gọi mặt phẳng cần tìm là $(P)$.

1. Xác định VTPT: Trục $Ox$ có vectơ đơn vị là $\vec{i} = (1; 0; 0)$. Vì mặt phẳng $(P) \perp Ox$ nên mặt phẳng $(P)$ nhận $\vec{i} = (1; 0; 0)$ làm một vectơ pháp tuyến.

2. Lập phương trình: Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(1; 2; -1)$ và có VTPT $\vec{i} = (1; 0; 0)$ có phương trình là:

   $$1(x - 1) + 0(y - 2) + 0(z - (-1)) = 0$$
   $$\Leftrightarrow x - 1 = 0$$

Kết luận: Phương trình mặt phẳng cần tìm là $x - 1 = 0$.

Tổng kết kiến thức

• Vectơ đơn vị trên các trục tọa độ:

  • Trục $Ox$: $\vec{i} = (1; 0; 0)$

  • Trục $Oy$: $\vec{j} = (0; 1; 0)$

  • Trục $Oz$: $\vec{k} = (0; 0; 1)$

• Quan hệ vuông góc: Nếu mặt phẳng $(P)$ vuông góc với một đường thẳng $d$ thì VTPT của $(P)$ chính là vectơ chỉ phương của $d$.

• Công thức tổng quát: Phương trình mặt phẳng đi qua $M(x_0; y_0; z_0)$ có VTPT $\vec{n} = (A; B; C)$ là:

  $$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$$

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm lẫn vectơ đơn vị: Đôi khi học sinh nhớ nhầm tọa độ của các vectơ $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ (ví dụ nhầm $\vec{i}$ là $(0; 1; 0)$).

• Quên rút gọn phương trình: Nhiều bạn dừng lại ở bước $1(x-1) + 0(y-2) + 0(z+1) = 0$ mà không rút gọn về $x - 1 = 0$, dẫn đến việc khó đối chiếu với đáp án trắc nghiệm.

• Nhầm với phương trình đường thẳng: Một số bạn viết nhầm sang dạng tham số của đường thẳng thay vì phương trình tổng quát của mặt phẳng.

Mẹo giải nhanh

Đối với các bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua $M(x_0; y_0; z_0)$ và vuông góc với các trục tọa độ, bạn có thể áp dụng ngay kết quả:

• Vuông góc với Ox: Phương trình là $x = x_0$ (Trong bài này là $x = 1 \Rightarrow x - 1 = 0$)

• Vuông góc với Oy: Phương trình là $y = y_0$

• Vuông góc với Oz: Phương trình là $z = z_0$

Lưu ý: Mẹo này giúp bạn chọn nhanh đáp án trong các câu hỏi trắc nghiệm chỉ trong 3 giây!