Bài 4.19 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 4.19 SGK Toán 12Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho tam giác vuông OAB có cạnh OA = a nằm trên trục Ox và . Gọi β là khối tròn xoay sinh ra khi quay miền tam giác OAB xung quanh trục Ox (H.4.31).

a) Tính thể tích V của β theo a và α.

b) Tìm α sao cho thể tích V lớn nhất

Giải bài 4.19 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

a) Xét tam giác OAB vuông tại A, có AB = OA.tanα = a.tanα.

Khi quay miền tam giác OAB xung quanh trục Ox ta được khối nón có bán kính đáy r = AB = a.tanα và chiều cao h = OA = a.

Do đó

b) Có

Vì  suy ra 0 < tanα ≤ 1 nên V' > 0.

Do đó V là hàm số đồng biến trên

Vậy  thì thể tích khối nón là lớn nhất.