Bài 4.19 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức: Ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay

Bài 4.19 SGK Toán 12Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho tam giác vuông OAB có cạnh OA = a nằm trên trục Ox và \widehat{AOB}=\alpha\,(0<\alpha\leq\frac{\pi}{4}). Gọi β là khối tròn xoay sinh ra khi quay miền tam giác OAB xung quanh trục Ox (H.4.31).

a) Tính thể tích V của β theo a và α.

b) Tìm α sao cho thể tích V lớn nhất

Phân tích nhanh

• Hình dạng vật thể: Khi quay tam giác vuông quanh một cạnh góc vuông (nằm trên trục quay $Ox$), khối tròn xoay tạo thành là một khối nón.

• Các thông số khối nón: Chiều cao $h$ tương ứng với cạnh $OA$, bán kính đáy $r$ tương ứng với cạnh $AB$.

• Yếu tố thay đổi: Thể tích phụ thuộc vào góc $\alpha$. Để tìm giá trị lớn nhất, ta cần khảo sát sự biến thiên của hàm số lượng giác trong khoảng đề bài cho.

Giải bài 4.19 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

a) Tính thể tích $V$ theo $a$ và $\alpha$

Xét tam giác $OAB$ vuông tại $A$ (vì $OA$ nằm trên trục $Ox$ và tạo khối tròn xoay từ tam giác vuông):

• Cạnh $OA = a$ (đóng vai trò là chiều cao $h$ của khối nón).

• Cạnh $AB$ (đóng vai trò là bán kính đáy $r$ của khối nón).

Dựa vào tỉ số lượng giác trong tam giác vuông $OAB$, ta có:

Vậy bán kính $r = a \cdot \tan \alpha$.

Thể tích khối nón $\beta$ là:

b) Tìm $\alpha$ để thể tích $V$ lớn nhất

Xét hàm số $V(\alpha) = \frac{1}{3} \pi a^3 \tan^2 \alpha$ trên nửa khoảng $(0; \frac{\pi}{4}]$.

Ta có đạo hàm:

Với $0 < \alpha \le \frac{\pi}{4}$, ta thấy:

• $\tan \alpha > 0$ và $\cos^2 \alpha > 0$.

• Do đó $V'(\alpha) > 0$, hàm số $V$ luôn đồng biến trên $(0; \frac{\pi}{4}]$.

Vì hàm số đồng biến nên giá trị lớn nhất sẽ đạt được tại biên phải của khoảng xét:

Kết luận: Thể tích $V$ lớn nhất khi $\alpha = \frac{\pi}{4}$.

Tổng kết kiến thức

1. Khối nón tròn xoay: Tạo ra khi quay tam giác vuông quanh một cạnh góc vuông.

2. Công thức thể tích: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$.

3. Sự biến thiên: Trong khoảng $(0; \frac{\pi}{2})$, hàm số $\tan \alpha$ đồng biến, dẫn đến thể tích khối nón cũng tăng dần theo độ lớn của góc ở đỉnh.

Những lỗi hay mắc phải

• Nhầm lẫn công thức: Học sinh đôi khi quên hệ số $1/3$ trong công thức thể tích khối nón, dẫn đến kết quả sai.

• Xác định sai bán kính: Nhầm lẫn giữa cạnh huyền $OB$ và cạnh góc vuông $AB$ khi xác định bán kính đáy.

• Lỗi đơn vị góc: Khi tính đạo hàm hoặc xét biến thiên, cần chú ý đơn vị Radian để đồng bộ với các công thức đạo hàm lượng giác.

Mẹo giải nhanh

Đối với các bài toán thể tích khối nón phụ thuộc vào góc $\alpha$ ở đáy/đỉnh:

• Nếu hàm số thu được chỉ chứa $\tan \alpha$ hoặc $\sin \alpha$ trên khoảng $(0; \frac{\pi}{4}]$, bạn có thể kết luận ngay hàm đồng biến mà không cần đạo hàm phức tạp.

• Góc $\alpha$ càng lớn (tiến về $\frac{\pi}{4}$ hoặc $\frac{\pi}{2}$ tùy đề) thì bán kính đáy càng lớn, dẫn đến thể tích càng tăng.