Bài 4.6 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức

Đề bài 4.6 Toán 12 Kết nối tri thức:

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C). Xét điểm M(x; f(x)) thay đổi trên (C). Biết rằng, hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M là k_M = (x – 1)² và điểm M trùng với gốc tọa độ khi nó nằm trên trục tung. Tìm biểu thức f(x).

Phân tích và Hướng dẫn giải:

1. Mối liên hệ $k_M$ và $f'(x)$: Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $M(x; f(x))$ chính là đạo hàm của hàm số tại $x$, tức là $f'(x) = k_M$.

2. Tìm $f(x)$: $f(x)$ là nguyên hàm của $f'(x)$. Ta tính $\int f'(x) dx$.

3. Điều kiện điểm: "Điểm $M$ trùng với gốc tọa độ khi nó nằm trên trục tung" nghĩa là tại $x=0$, $y=0$. Do đó, $f(0) = 0$.

Lời giải chi tiết bài 4.12 Toán 12 KNTT:

Vì hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M là k_M = (x – 1)² nên ta có:

$f(x)\int(x-1)^2dx=\int(x^2-2x+1)dx$

$=\int\,x^2\,dx-2\,\int\,x\,dx+\int\,dx$ $=\frac{x^3}{3}-x^2+x+C$

Vì điểm M trùng với gốc tọa độ khi nó nằm trên trục tung nên f(0) = 0.

Do đó $f(0)=\frac{0^3}{3}-0^2+0+C=0$

Suy ra: C = 0

Do đó $f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2+x$