Bài 4.34 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức: Thể tích khối tròn xoay

Bài 4.34 SGK Toán 12Tập 2 Kết nối tri thức:

Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh trục Ox:

a) y = 1 – x², y = 0, x = −1, x = 1;

b) $y=\sqrt{25-x^2}$, y = 0, x = 2, x = 4 

Phân tích nhanh

• Dạng toán: Tính thể tích khối tròn xoay quanh trục $Ox$.

• Công thức cốt lõi:

  $$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx$$

• Lưu ý kỹ thuật:

  • Ở câu (a), ta cần khai triển hằng đẳng thức $(1 - x^2)^2$ trước khi lấy nguyên hàm.

  • Ở câu (b), bình phương sẽ làm mất dấu căn bậc hai, giúp việc tính tích phân trở nên đơn giản hơn.

Giải bài 4.34 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

a) Tính thể tích với $y = 1 - x^2$ trên đoạn $[-1; 1]$

Áp dụng công thức, thể tích khối tròn xoay là:

Khai triển hằng đẳng thức trong dấu tích phân:

Tìm nguyên hàm và thay cận:

Tính giá trị tại các cận:

• Tại $x = 1$: $1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5} = \frac{15 - 10 + 3}{15} = \frac{8}{15}$

• Tại $x = -1$: $-1 - \frac{2}{3}(-1) + \frac{-1}{5} = -1 + \frac{2}{3} - \frac{1}{5} = -\frac{8}{15}$

  Kết quả: $V = \pi \left[ \frac{8}{15} - \left( -\frac{8}{15} \right) \right] = \frac{16\pi}{15}$

b) Tính thể tích với $y = \sqrt{25 - x^2}$ trên đoạn $[2; 4]$

Áp dụng công thức:

Tìm nguyên hàm và thay cận:

Tính giá trị tại các cận:

• Tại $x = 4$: $25(4) - \frac{4^3}{3} = 100 - \frac{64}{3} = \frac{236}{3}$

• Tại $x = 2$: $25(2) - \frac{2^3}{3} = 50 - \frac{8}{3} = \frac{142}{3}$

  Kết quả: $V = \pi \left( \frac{236}{3} - \frac{142}{3} \right) = \frac{94\pi}{3}$

Tổng kết kiến thức

1. Quên bình phương: Đây là lỗi "kinh điển". Luôn nhớ công thức có $[f(x)]^2$.

2. Hằng số $\pi$: Thể tích khối tròn xoay bắt buộc phải có $\pi$. Nếu kết quả trắc nghiệm không có $\pi$, hãy kiểm tra lại.

3. Khai triển đa thức: Cẩn thận khi khai triển hằng đẳng thức bậc cao để không làm sai lệch các hệ số của nguyên hàm.

Những lỗi hay mắc phải

• Nhầm lẫn với diện tích: Tính $\int |f(x)| dx$ thay vì $\pi \int f^2(x) dx$.

• Sai dấu khi thay cận âm: Đặc biệt ở câu (a), việc tính toán lũy thừa bậc lẻ của số âm ($-1$) rất dễ dẫn đến nhầm dấu.

• Lỗi bấm máy tính: Nhập thiếu dấu ngoặc khi bình phương hàm số.

Mẹo giải nhanh

• Kiểm tra bằng Casio: Nhập π * ∫((1-X²)², -1, 1) để đối chiếu kết quả câu (a).

• Nhận diện hình học (Câu b): Đồ thị $y = \sqrt{25 - x^2}$ là một phần của đường tròn tâm $O$ bán kính $R=5$. Khối tròn xoay tạo thành là một "đới cầu". Nếu thuộc công thức tính thể tích đới cầu, bạn có thể dùng để kiểm tra lại kết quả tích phân.