Bài 5.6 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Bài 5.6 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y + z + 2 = 0, (Q): x + y + z + 6 = 0. Chứng minh rằng hai mặt phẳng đã cho song song với nhau và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.

Phân tích nhanh

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần thực hiện hai yêu cầu:

1. Chứng minh song song: Kiểm tra xem hai vectơ pháp tuyến có cùng phương hay không và các hệ số tự do có khác nhau không.

2. Tính khoảng cách: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

Giải bài 5.6 SGK Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức:

1. Chứng minh $(P) \parallel (Q)$

Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến (VTPT) là $\vec{n}_P = (1; 1; 1)$ và số hạng tự do $D = 2$.

Mặt phẳng $(Q)$ có vectơ pháp tuyến (VTPT) là $\vec{n}_Q = (1; 1; 1)$ và số hạng tự do $D' = 6$.

Ta thấy:

• $\vec{n}_P = \vec{n}_Q = (1; 1; 1)$ (Hai vectơ pháp tuyến trùng nhau).

• Hệ số tự do $D \neq D'$ ($2 \neq 6$).

Kết luận: Hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ song song với nhau.

2. Tính khoảng cách giữa $(P)$ và $(Q)$

Lấy một điểm $M$ bất kỳ thuộc mặt phẳng $(P)$. Chọn $x=0, y=0 \Rightarrow 0 + 0 + z + 2 = 0 \Rightarrow z = -2$.

Vậy điểm $M(0; 0; -2) \in (P)$.

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ chính là khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $(Q)$:

Thực hiện tính toán:

• Tử số: $|-2 + 6| = |4| = 4$.

• Mẫu số: $\sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.

Vậy $d((P), (Q)) = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$.

Tổng kết kiến thức

• Điều kiện song song: Hai mặt phẳng $Ax+By+Cz+D=0$ và $A'x+B'y+C'z+D'=0$ song song khi:

  $$\frac{A}{A'} = \frac{B}{B'} = \frac{C}{C'} \neq \frac{D}{D'}$$

• Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:

  $$d((P), (Q)) = \frac{|D - D'|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$

  (Lưu ý: Công thức này chỉ dùng khi hệ số $A, B, C$ của hai mặt phẳng đã được đưa về giống nhau).

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm lẫn điều kiện trùng nhau: Nếu học sinh chỉ kiểm tra vectơ pháp tuyến mà quên kiểm tra hệ số tự do, có thể kết luận sai là hai mặt phẳng trùng nhau.

• Lấy điểm $M$ không thuộc mặt phẳng: Khi chọn điểm $M$ để tính khoảng cách, cần đảm bảo tọa độ điểm đó thỏa mãn phương trình của mặt phẳng đầu tiên.

• Lỗi trục căn thức: Kết quả $\frac{4}{\sqrt{3}}$ là đúng, nhưng trong các bài thi trắc nghiệm, đáp án thường để ở dạng trục căn thức ở mẫu là $\frac{4\sqrt{3}}{3}$.

Mẹo giải nhanh

Đối với bài toán tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song có dạng hệ số $x, y, z$ giống hệt nhau như trên:

Bạn có thể dùng công thức "siêu tốc":

Cách này giúp bạn không cần tìm điểm $M$, tránh được các sai sót trung gian và ra kết quả cực nhanh!