Bài 2.28 Trang 42 SGK Toán 9 Tập 1 Kết nối tri thức: So sánh các biểu thức dựa trên bất đẳng thức

Bài 2.28 (Trang 42 Toán 9 Tập 1 - Kết nối tri thức):

Cho $a < b$, hãy so sánh:

a) $a + b + 5$ với $2b + 5$;

b) $-2a - 3$ với $-(a + b) - 3$.

Phân tích nhanh

Để giải quyết bài toán so sánh này, chúng ta cần vận dụng linh hoạt các tính chất của bất đẳng thức:

1. Cộng cùng một số vào hai vế: Bất đẳng thức không đổi chiều.

2. Nhân/Chia với một số âm: Bất đẳng thức phải đổi chiều.

3. Kỹ thuật thêm bớt: Từ giả thiết $a < b$, ta có thể cộng thêm một lượng biến số ($a$ hoặc $b$) vào cả hai vế để tạo ra biểu thức cần so sánh.

Lời giải chi tiết bài 2.28 trang 42 Toán 9

a) So sánh $a + b + 5$ với $2b + 5$

1. Xuất phát từ giả thiết: Theo đề bài, ta có $a < b$.

2. Cộng $b$ vào cả hai vế: Để xuất hiện biểu thức $a + b$ và $2b$, ta cộng thêm $b$ vào hai vế của bất đẳng thức:

   $$a + b < b + b$$
   $$\Leftrightarrow a + b < 2b$$

3. Cộng tiếp số $5$ vào cả hai vế:

   $$a + b + 5 < 2b + 5$$

Kết luận: Vậy $a + b + 5 < 2b + 5$.

b) So sánh $-2a - 3$ với $-(a + b) - 3$

1. Xuất phát từ giả thiết: Ta có $a < b$.

2. Cộng $a$ vào cả hai vế: Để tạo ra mối liên hệ giữa $2a$ và $a+b$, ta cộng thêm $a$ vào hai vế:

   $$a + a < a + b$$
   $$\Leftrightarrow 2a < a + b$$

3. Nhân cả hai vế với $-1$: Khi nhân với số âm, ta phải đổi chiều bất đẳng thức từ "$<$" thành "$>$":

   $$-2a > -(a + b)$$

4. Trừ $3$ cho cả hai vế (hoặc cộng với $-3$):

   $$-2a - 3 > -(a + b) - 3$$

Kết luận: Vậy $-2a - 3 > -(a + b) - 3$.

Tổng kết kiến thức

• Quy tắc cộng: $a < b \Rightarrow a + c < b + c$ (với $c$ là số thực hoặc biểu thức bất kỳ).

• Quy tắc nhân số âm: $a < b \Rightarrow ac > bc$ khi $c < 0$.

• Mấu chốt: Luôn cố gắng biến đổi từ giả thiết đơn giản ($a < b$) để xây dựng dần lên biểu thức phức tạp hơn mà đề bài yêu cầu.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Quên đổi chiều ở câu b: Đây là lỗi thường gặp nhất. Khi chuyển từ $2a < a+b$ sang dạng số âm, nhiều bạn vẫn giữ nguyên dấu "$<$".

• Lúng túng khi chọn lượng cộng thêm: Ở câu a, nếu cộng $a$ thay vì $b$ thì ta được $2a < a+b$, điều này không trực tiếp dẫn đến biểu thức $2b$. Do đó, việc chọn cộng $a$ hay $b$ phụ thuộc vào mục tiêu ở vế phải của đề bài.

• Sai dấu khi phá ngoặc: Ở câu b, cần lưu ý $-(a+b)$ tương đương với $-a-b$.

Mẹo giải nhanh

Đối với bài toán so sánh có cấu trúc giống nhau ở cả hai vế (như cùng có $+5$ hoặc $-3$):

1. Lược bỏ phần giống nhau: Thực chất câu a là so sánh $a+b$ với $2b$.

2. Đưa về giả thiết: $a+b$ với $b+b$. Vì $a < b$ nên hiển nhiên $a+b < b+b$.

3. Áp dụng tương tự cho câu b: So sánh $-2a$ với $-a-b$. Vì $2a < a+b$ nên khi thêm dấu âm vào, giá trị nhỏ hơn sẽ trở thành lớn hơn.