Bài 2.27 Trang 42 SGK Toán 9 Tập 1 Kết nối tri thức: Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bài 2.27 (Trang 42 Toán 9 Tập 1 - Kết nối tri thức):

Giải các phương trình sau:

a) $\frac{x}{x-5} - \frac{2}{x+5} = \frac{x^2}{x^2-25}$

b) $\frac{1}{x+1} - \frac{x}{x^2-x+1} = \frac{3}{x^3+1}$

Phân tích nhanh

Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, chúng ta cần tuân thủ nghiêm ngặt 4 bước:

1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): Cho các mẫu thức khác $0$.

2. Quy đồng mẫu thức và khử mẫu: Tìm mẫu thức chung để đưa về phương trình không còn ẩn ở mẫu.

3. Giải phương trình vừa tìm được.

4. Đối chiếu điều kiện và kết luận: Chỉ nhận những giá trị $x$ thỏa mãn ĐKXĐ ban đầu.

Lời giải chi tiết bài 2.27 Trang 42 Toán 9

a) $\frac{x}{x-5} - \frac{2}{x+5} = \frac{x^2}{x^2-25}$

Bước 1: Điều kiện xác định (ĐKXĐ)

Vì $x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$ nên ĐKXĐ là:

$x - 5 \neq 0$ và $x + 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5$ và $x \neq -5$.

Bước 2: Quy đồng và khử mẫu

Mẫu thức chung (MTC): $(x - 5)(x + 5)$.

Bước 3: Giải phương trình

Bước 4: Đối chiếu điều kiện

Giá trị $x = -10/3$ thỏa mãn ĐKXĐ ($x \neq \pm 5$).

Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là $S = \{-10/3\}$.

b) $\frac{1}{x+1} - \frac{x}{x^2-x+1} = \frac{3}{x^3+1}$

Bước 1: Điều kiện xác định (ĐKXĐ)

Ta có $x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$. Vì $x^2 - x + 1 = (x - 1/2)^2 + 3/4 > 0$ với mọi $x$, nên ĐKXĐ chỉ cần:

$x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$.

Bước 2: Quy đồng và khử mẫu

MTC: $(x + 1)(x^2 - x + 1)$.

Bước 3: Giải phương trình

Bước 4: Đối chiếu điều kiện

Giá trị $x = -1$ không thỏa mãn ĐKXĐ ($x \neq -1$).

Kết luận: Phương trình đã cho vô nghiệm.

Tổng kết kiến thức

• Hằng đẳng thức bổ trợ:

  • $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$

  • $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$

• Lưu ý quan quan trọng: Bước đối chiếu điều kiện là bắt buộc. Nếu quên bước này, các em sẽ kết luận sai nghiệm (đặc biệt ở câu b).

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Quên ĐKXĐ: Đây là lỗi phổ biến nhất khiến học sinh nhận cả nghiệm không hợp lệ.

• Sai dấu khi khử mẫu: Khi phía trước phân thức là dấu trừ (như $- \frac{2}{x+5}$), khi nhân tử phụ vào phải chú ý đổi dấu các hạng tử bên trong.

• Không thuộc hằng đẳng thức: Dẫn đến việc không tìm được mẫu thức chung hoặc phân tích mẫu sai.

Mẹo giải nhanh

1. Quan sát mẫu thức: Thường thì mẫu thức phức tạp nhất (như $x^2-25$ hay $x^3+1$) chính là mẫu thức chung.

2. Kiểm tra nghiệm bằng máy tính: Sau khi ra kết quả, bạn có thể nhập vế trái trừ vế phải vào máy tính Casio, dùng lệnh CALC với giá trị $x$ vừa tìm. Nếu kết quả bằng $0$ thì nghiệm đó đúng.