Cách tìm Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của 2 số, 3 số Toán 6 (dễ hiểu nhất)

Vậy làm sao để tìm Bội chung và Bội chung nhỏ nhất của 2 số, 3 số hay nhiều số một cách chính xác nhất? Bài viết dưới đây Hay Học Hỏi sẽ chia sẻ với các em quy trình toán học cốt lõi, cẩm nang 3 bước phá đảo dạng toán này và hệ thống bài tập tự luận có lời giải chi tiết.

Lưu ý từ Hay Học Hỏi: Trong phạm vi chương này, chúng ta đang làm việc hoàn toàn trên tập hợp số tự nhiên $\mathbb{N}$. Khi học sang các chương sau về tập hợp số nguyên $\mathbb{Z}$, khái niệm ước và bội sẽ được mở rộng thêm cả các số nguyên âm.

I. Định Nghĩa Về Bội Chung Và Bội Chung Nhỏ Nhất (BCNN)

Để bắt tay vào giải toán một cách thành thạo, trước tiên các em cần phân biệt rõ hai khái niệm cơ bản dưới đây:

1. Bội chung là gì?

Bội chung của hai hay nhiều số là số thuộc tập hợp bội của tất cả các số đó.

• Kí hiệu tập hợp bội chung của $a$ và $b$ là: $BC(a, b)$

• Số tự nhiên $x$ được gọi là thuộc tập hợp $BC(a, b)$ nếu thỏa mãn đồng thời hai phép chia hết: $x \ \vdots \ a$ và $x \ \vdots \ b$.

Ví dụ trực quan: Ta có tập hợp bội của 4 và 6 lần lượt là:

$B(4) = \{0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; \dots\}$

$B(6) = \{0; 6; 12; 18; 24; \dots\}$

Nhận thấy các phần tử chung xuất hiện ở cả hai tập hợp là $0; 12; 24; \dots$

Do đó, tập hợp bội chung của 4 và 6 được viết là: $BC(4, 6) = \{0; 12; 24; \dots\}$.

2. Bội chung nhỏ nhất (BCNN) là gì?

Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó. Kí hiệu là BCNN.

Ví dụ trực quan: Từ tập hợp bội chung ở trên là $BC(4, 6) = \{0; 12; 24; \dots\}$, ta lọc ra số nhỏ nhất có giá trị khác 0 chính là số 12.

Ta nói 12 là bội chung nhỏ nhất của 4 và 6, viết là: $\text{BCNN}(4, 6) = 12$.

3. Quy trình 3 bước tìm Bội chung nhỏ nhất (BCNN)

Muốn tìm bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số tự nhiên lớn hơn 1 một cách nhanh chóng, các em hãy áp dụng quy trình 3 bước sau:

• Bước 1: Phân tích mỗi số tự nhiên đã cho ra thừa số nguyên tố (bằng phương pháp cột dọc hoặc sơ đồ nhánh).

• Bước 2: Quan sát và chọn ra tất cả các thừa số nguyên tố chung và riêng.

• Bước 3: Lập một phép tính tích các thừa số nguyên tố đã chọn, trong đó mỗi thừa số sẽ lấy với số mũ lớn nhất của nó. Giá trị của tích chính là BCNN cần tìm.

Mẹo tìm nhanh: Để tìm tập hợp BC của các số, ta chỉ cần tìm tập hợp bội của BCNN của các số đó: $BC(a, b) = B(\text{BCNN}(a, b))$.

II. Hệ Thống Bài Tập Vận Dụng (Các em tự giải)

Các em hãy chép lại các đề bài dưới đây vào vở và tự thực hành tính toán trước khi đối chiếu với phần hướng dẫn giải ở mục sau nhé:

• Bài tập 1: Tìm BCNN của các tập hợp số sau đây:

  • a) 60 và 280

  • b) 84 và 108

  • c) 13 và 15

• Bài tập 2: Tìm BCNN của các bộ ba số sau:

  • a) 10; 12 và 15

  • b) 8; 9 và 11

  • c) 24; 40 và 168

• Bài tập 3: Tìm số tự nhiên $a$ nhỏ nhất khác 0, biết rằng $a$ chia hết cho 15 và $a$ chia hết cho 18.

• Bài tập 4 (Toán đố thực tế): Học sinh lớp 6C khi xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 8 đều vừa đủ hàng. Biết số học sinh lớp đó nằm trong khoảng từ 35 đến 60 em. Hãy tính số học sinh của lớp 6C.

III. Hướng Dẫn Giải Chi Tiết Và Đáp Án Tham Khảo

Hướng dẫn giải Bài tập 1

• Câu a: Tìm BCNN(60, 280) Thực hiện phân tích hai số ra thừa số nguyên tố:

  $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$

  $280 = 2^3 \cdot 5 \cdot 7$

  Các thừa số nguyên tố chung và riêng của hai số là 2, 3, 5 và 7.

  Chọn số mũ lớn nhất của 2 là số mũ 3, số mũ lớn nhất của 3; 5; 7 đều là số mũ 1.

  Ta tính được giá trị: $\text{BCNN}(60, 280) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 8 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 840$.

• Câu b: Tìm BCNN(84, 108) Thực hiện phân tích hai số ra thừa số nguyên tố:

  $84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$

  $108 = 2^2 \cdot 3^3$

  Các thừa số nguyên tố chung và riêng là 2, 3 và 7. Ta chọn số mũ lớn nhất của 2 là số mũ 2, số mũ lớn nhất của 3 là số mũ 3, số mũ lớn nhất của 7 là số mũ 1.

  Ta tính được giá trị: $\text{BCNN}(84, 108) = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 7 = 4 \cdot 27 \cdot 7 = 756$.

• Câu c: Tìm BCNN(13, 15) Thực hiện phân tích ra thừa số nguyên tố:

  $13 = 13$ (vì 13 là số nguyên tố) $15 = 3 \cdot 5$

  Nhận thấy hai số trên không có thừa số nguyên tố chung nào, do đó chúng được gọi là hai số nguyên tố cùng nhau. Theo quy tắc toán học trường hợp đặc biệt, bội chung nhỏ nhất của hai số nguyên tố cùng nhau chính bằng tích của chúng.

  Ta có kết quả: $\text{BCNN}(13, 15) = 13 \cdot 15 = 195$.

Hướng dẫn giải Bài tập 2

• Câu a: Tìm BCNN(10, 12, 15) Thực hiện phân tích ba số ra thừa số nguyên tố:

  $10 = 2 \cdot 5$

  $12 = 2^2 \cdot 3$

  $15 = 3 \cdot 5$

  Các thừa số nguyên tố chung và riêng là 2, 3 và 5. Ta chọn số mũ lớn nhất của 2 là số mũ 2, số mũ lớn nhất của 3 và 5 là số mũ 1.

  Ta tính được giá trị: $\text{BCNN}(10, 12, 15) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.

• Câu b: Tìm BCNN(8, 9, 11) Thực hiện phân tích ba số ra thừa số nguyên tố:

  $8 = 2^3$

  $9 = 3^2$

  $11 = 11$

  Quan sát dạng phân tích, ta thấy bộ ba số này đôi một nguyên tố cùng nhau vì không có thừa số nguyên tố nào chung. Do đó, BCNN của chúng chính bằng tích của cả ba số hạng.

  Ta tính được giá trị: $\text{BCNN}(8, 9, 11) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 11 = 8 \cdot 9 \cdot 11 = 792$.

• Câu c: Tìm BCNN(24, 40, 168) Thực hiện phân tích ba số ra thừa số nguyên tố:

  $24 = 2^3 \cdot 3$

  $40 = 2^3 \cdot 5$

  $168 = 2^3 \cdot 3 \cdot 7$

  Các thừa số nguyên tố chung và riêng là 2, 3, 5 và 7. Ta lấy với số mũ lớn nhất tương ứng của từng thừa số.

  Ta tính được giá trị: $\text{BCNN}(24, 40, 168) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 8 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 840$.

Hướng dẫn giải Bài tập 3

Vì số $a$ chia hết cho 15 và số $a$ cũng chia hết cho 18 nên theo định nghĩa số học, số $a$ phải đóng vai trò là một bội chung của 15 và 18. Nghĩa là số $a$ thuộc tập hợp $BC(15, 18)$.

Mặt khác, đề bài đưa ra điều kiện ràng buộc số $a$ phải là số tự nhiên nhỏ nhất và khác 0. Do đó, số $a$ cần tìm chính là bội chung nhỏ nhất của hai số trên: $a = \text{BCNN}(15, 18)$.

Ta tiến hành phân tích hai số ra thừa số nguyên tố để tính toán giá trị:

$15 = 3 \cdot 5$

$18 = 2 \cdot 3^2$

Biểu thức tích lập được với số mũ lớn nhất là:

$\text{BCNN}(15, 18) = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 2 \cdot 9 \cdot 5 = 90$.

Kết luận: Vậy giá trị số tự nhiên nhỏ nhất khác 0 cần tìm là $a = 90$.

Hướng dẫn giải Bài tập 4

Ta gọi số học sinh của lớp 6C cần tìm là số tự nhiên $a$.

Theo đề bài, số học sinh nằm trong khoảng giới hạn từ 35 đến 60 em, nên ta có khoảng chặn: $35 \leq a \leq 60$.

Vì khi học sinh lớp 6C xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 8 đều vừa vặn đủ hàng nên số lượng học sinh $a$ phải chia hết cho cả bốn số: 2, 3, 4 và 8. Hay nói cách khác, $a$ chính là một bội chung của chuỗi số này: $a \in BC(2; 3; 4; 8)$.

Để xác định tập hợp bội chung, trước hết ta tiến hành tính bội chung nhỏ nhất của chúng:

$2 = 2$

$3 = 3$

$4 = 2^2$

$8 = 2^3$

Biểu thức tích lập được với số mũ lớn nhất là:

$\text{BCNN}(2, 3, 4, 8) = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$.

Từ giá trị BCNN vừa tìm được, ta suy ra tập hợp các bội chung của dãy số bằng cách lấy bội của số 24:

$BC(2, 3, 4, 8) = B(24) = \{0; 24; 48; 72; 96; \dots\}$

Ta thực hiện đối chiếu các phần tử của tập hợp trên với điều kiện khoảng chặn đề bài cho ($35 \leq a \leq 60$). Nhận thấy trong tập hợp chỉ có duy nhất một giá trị số thỏa mãn nằm trong khoảng này là số 48.

Kết luận: Vậy tổng số học sinh của lớp 6C là 48 học sinh.