Ước và Bội của số nguyên, bài tập áp dụng (Ôn tập Toán 6 chuẩn nhất)

Đây chắc hẳn là những thắc mắc chung mà rất nhiều em học sinh lớp 6 gặp phải khi mới bắt đầu làm quen với chương số học. Hiểu được những khó khăn đó, bài viết này Hay Học Hỏi sẽ giúp các em hệ thống hóa lại toàn bộ định nghĩa, cách tìm Ước chung lớn nhất (ƯCLN), Bội chung nhỏ nhất (BCNN) một cách trực quan, đồng thời cung cấp kho bài tập tự luyện lên đến 32 bài toán có đáp án chi tiết.

I. Lý Thuyết Trọng Tâm Cần Nhớ

1. Định nghĩa về Ước và Bội

Nếu có số tự nhiên $a$ chia hết cho số tự nhiên $b$ (ký hiệu là $a \ \vdots \ b$), ta nói $a$ là bội của $b$ và $b$ là ước của $a$.

• Tập hợp các bội của số tự nhiên $a$ được ký hiệu là: $B(a)$

• Tập hợp các ước của số tự nhiên $a$ được ký hiệu là: $Ư(a)$

Ví dụ: Ta có $18 \ \vdots \ 6$, do đó $18$ được gọi là bội của $6$, còn $6$ được gọi là ước của $18$.

2. Cách tìm Bội của một số tự nhiên

Muốn tìm các bội của một số tự nhiên khác 0, ta nhân số đó lần lượt với các số tự nhiên $0, 1, 2, 3, 4, \dots$

Ví dụ: Để tìm bội của 6, ta lấy $6 \cdot 0 = 0$; \ $6 \cdot 1 = 6$; \ $6 \cdot 2 = 12$; \ $\dots$

Ta viết được tập hợp: $B(6) = \{0; 6; 12; 18; 24; \dots\}$

3. Cách tìm Ước của một số tự nhiên

Muốn tìm ước của một số tự nhiên $a$ ($a > 1$), ta lần lượt chia số $a$ cho các số tự nhiên chạy từ $1$ đến $a$ để xét xem $a$ có thể chia hết cho những số nào. Khi đó, các số ấy chính là ước của $a$.

Ví dụ: Để tìm ước của 16, ta xét các số từ 1 đến 16 và thấy 16 chia hết cho 1, 2, 4, 8, 16.

Ta viết được tập hợp: $Ư(16) = \{1; 2; 4; 8; 16\}$

4. Khái niệm Số nguyên tố

Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có duy nhất hai ước là 1 và chính nó.

Ví dụ: Tập hợp ước của 13 là $Ư(13) = \{1; 13\}$, do đó 13 là một số nguyên tố.

5. Ước chung và Ước chung lớn nhất (ƯCLN)

• Ước chung (ƯC) của hai hay nhiều số là số thuộc tập hợp ước của tất cả các số đó.

• Ước chung lớn nhất (ƯCLN) của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.

Quy trình 3 bước tìm ƯCLN của các số lớn hơn 1:

• Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

• Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

• Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó chính là ƯCLN cần tìm.

Ví dụ: Tìm ƯCLN(18; 30)

• Bước 1: Phân tích ra thừa số nguyên tố: $18 = 2 \cdot 3^2$ và $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$.

• Bước 2: Các thừa số nguyên tố chung là 2 và 3.

• Bước 3: Lập tích với số mũ nhỏ nhất, ta được: $\text{ƯCLN}(18; 30) = 2^1 \cdot 3^1 = 6$.

Chú ý quan trọng:

• Nếu các số đã cho không có thừa số nguyên tố chung thì ƯCLN của chúng bằng 1. Hai hay nhiều số có ƯCLN bằng 1 được gọi là các số nguyên tố cùng nhau (Ví dụ: 8 và 9).

• Mẹo tìm ƯC thông qua ƯCLN: Để tìm tập hợp ước chung của các số, ta chỉ cần tìm tập hợp các ước của ƯCLN của các số đó.

6. Bội chung và Bội chung nhỏ nhất (BCNN)

• Bội chung (BC) của hai hay nhiều số là số thuộc tập hợp bội của tất cả các số đó.

  Số $x$ thuộc tập hợp $BC(a, b)$ nếu $x \ \vdots \ a$ và $x \ \vdots \ b$.

• Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó.

Quy trình 3 bước tìm BCNN của các số lớn hơn 1:

• Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

• Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.

• Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó chính là BCNN cần tìm.

• Mẹo tìm BC thông qua BCNN: Để tìm tập hợp bội chung của các số, ta có thể tìm tập hợp các bội của BCNN của các số đó.

II. Hệ Thống Bài Tập Vận Dụng Chia Theo Dạng Toán

Dạng 1: Viết tập hợp Ước và Bội

Bài toán 1: Viết các tập hợp sau:

a) $Ư(6); \ Ư(9); \ Ư(12)$

b) $Ư(7); \ Ư(18); \ Ư(10)$

c) $Ư(15); \ Ư(16); \ Ư(250)$

d) $B(23); \ B(10); \ B(8)$ (viết 5 phần tử đầu tiên) e) $B(3); \ B(12); \ B(9)$

g) $B(18); \ B(20); \ B(14)$

Đáp án mẫu:

• $Ư(6) = \{1; 2; 3; 6\}$

• $Ư(18) = \{1; 2; 3; 6; 9; 18\}$

• $Ư(20) = \{1; 2; 4; 5; 10; 20\}$

• $B(8) = \{0; 8; 16; 24; 32; \dots\}$

Dạng 2: Phân tích một số ra thừa số nguyên tố

Bài toán 2:Phân tích các số sau thành tích các thừa số nguyên tố:

a) 27; 30; 80; 20; 120; 90

b) 15; 100; 112; 224; 184

c) 16; 48; 98; 36; 124

d) 56; 72; 45; 54; 177

Đáp án mẫu:

• $27 = 3^3$

• $100 = 2^2 \cdot 5^2$

• $48 = 2^4 \cdot 3$

• $56 = 2^3 \cdot 7$

Dạng 3: Tìm ƯCLN, BCNN, ƯC và BC

Bài toán 3: Tìm ƯCLN của các tập hợp số sau:

a) $\text{ƯCLN}(10; 28)$

b) $\text{ƯCLN}(24; 36)$

c) $\text{ƯCLN}(16; 80; 176)$

d) $\text{ƯCLN}(6; 8; 18)$

e) $\text{ƯCLN}(24; 84; 180)$

g) $\text{ƯCLN}(56; 140)$

h) $\text{ƯCLN}(12; 14; 8; 20)$

k) $\text{ƯCLN}(7; 9; 12; 21)$

Hướng dẫn giải mẫu câu a: * Bước 1: Phân tích ra thừa số nguyên tố: $10 = 2 \cdot 5$ và $28 = 2^2 \cdot 7$.

• Bước 2: Ta thấy thừa số nguyên tố chung là 2.

• Bước 3: Lấy thừa số nguyên tố chung với số mũ nhỏ nhất.

  Vậy $\text{ƯCLN}(10; 28) = 2$.

• Đáp số các câu còn lại lần lượt là: b) 12; c) 16; d) 2; e) 12; g) 28; h) 2; k) 1.

Bài toán 4: Tìm tập hợp ƯC của các số sau bằng cách tìm thông qua ƯCLN:

a) $ƯC(16; 24)$

b) $ƯC(60; 90)$

c) $ƯC(24; 84)$

d) $ƯC(16; 60)$

e) $ƯC(18; 77)$

g) $ƯC(18; 90)$

h) $ƯC(18; 30; 42)$

k) $ƯC(26; 39; 48)$

Bài toán 5: Tìm BCNN của các tập hợp số sau:

a) $\text{BCNN}(8; 10; 20)$

b) $\text{BCNN}(16; 24)$

c) $\text{BCNN}(60; 140)$

d) $\text{BCNN}(8; 9; 11)$

e) $\text{BCNN}(24; 40; 162)$

g) $\text{BCNN}(56; 70; 126)$

h) $\text{BCNN}(28; 20; 30)$

k) $\text{BCNN}(34; 32; 20)$

l) $\text{BCNN}(42; 70; 52)$

m) $\text{BCNN}(9; 10; 11)$

Bài toán 6: Tìm tập hợp BC của các số sau thông qua BCNN:

a) $BC(13; 15)$

b) $BC(10; 12; 15)$

c) $BC(7; 9; 11)$

d) $BC(24; 40; 28)$

e) $BC(30; 105)$

g) $BC(84; 108)$

h) $BC(98; 72; 42)$

k) $BC(68; 208; 100)$

Dạng 4: Tìm số tự nhiên x thỏa mãn khoảng chặn

Bài toán 7: Tìm số tự nhiên $x$ lớn nhất, biết rằng:

• a) $420 \ \vdots \ x$ và $700 \ \vdots \ x$. Vì $x$ lớn nhất nên $x$ là ước chung lớn nhất của $420$ và $700$. Ta tìm được $x = 140$.

• b) $48 \ \vdots \ x$ và $60 \ \vdots \ x$. Vì $x$ lớn nhất nên $x = \text{ƯCLN}(48; 60) = 12$.

• c) $105 \ \vdots \ x; \ 175 \ \vdots \ x$ và $385 \ \vdots \ x$. Ta tìm được $x = 35$.

• d) $46 \ \vdots \ x; \ 32 \ \vdots \ x$ và $56 \ \vdots \ x$. Ta tìm được $x = 2$.

• e) $17 \ \vdots \ x; \ 21 \ \vdots \ x$ và $51 \ \vdots \ x$. Ta tìm được $x = 1$.

• f) $8 \ \vdots \ x; \ 25 \ \vdots \ x$ và $40 \ \vdots \ x$. Ta tìm được $x = 1$.

• g) $12 \ \vdots \ x; \ 15 \ \vdots \ x$ và $35 \ \vdots \ x$. Ta tìm được $x = 1$.

• h) $50 \ \vdots \ x; \ 42 \ \vdots \ x$ và $38 \ \vdots \ x$. Ta tìm được $x = 2$.

Bài toán 8: Tìm các số tự nhiên $x$ thỏa mãn khoảng chặn cho trước:

• a) $x \in B(8)$ và $x \leq 30$. Ta tìm được $x \in \{0; 8; 16; 24\}$.

• b) $x \in B(15)$ và $15 < x \leq 90$. Ta tìm được $x \in \{30; 45; 60; 75; 90\}$.

• c) $x \in B(12)$ và $12 < x < 90$. Ta tìm được $x \in \{24; 36; 48; 60; 72; 84\}$.

• d) $x \in B(5)$ và $x \leq 100$. Ta tìm được $x \in \{0; 5; 10; \dots; 100\}$.

• e) $x \ \vdots \ 12$ và $50 < x \leq 72$. Ta tìm được $x \in \{60; 72\}$.

• f) $x \ \vdots \ 14$ và $x < 92$. Ta tìm được $x \in \{0; 14; 28; 42; 56; 70; 84\}$.

• g) $x \ \vdots \ 9$ và $x < 40$. Ta tìm được $x \in \{0; 9; 18; 27; 36\}$.

• h) $x \ \vdots \ 12$ và $24 \leq x \leq 80$. Ta tìm được $x \in \{24; 36; 48; 60; 72\}$.

Bài toán 9: Tìm số tự nhiên $x$ thỏa mãn điều kiện bội chung:

• a) $x \in BC(6; 21; 27)$ và $x \leq 2000$.

• b) $x \in BC(12; 15; 20)$ và $x \leq 500$.

• c) $x \in BC(5; 10; 25)$ và $x < 400$.

• d) $x \in BC(3; 5; 6; 9)$ và $150 \leq x \leq 250$.

• e) $x \in BC(16; 21; 25)$ và $x \leq 400$.

Bài toán 10: Tìm số tự nhiên $x$, biết:

• a) $(x - 1) \in BC(4; 5; 6)$ và $x < 400$.

• b) $(x - 1) \in BC(4; 5; 6)$, biết $x \ \vdots \ 7$ và $x < 400$.

• c) $(x + 1) \in BC(6; 20; 15)$ và $x \leq 300$.

• d) $(x + 2) \in BC(8; 16; 24)$ và $x \leq 250$.

Bài toán 11: Tìm số tự nhiên $x$, biết:

• a) $x \ \vdots \ 39; \ x \ \vdots \ 65; \ x \ \vdots \ 91$ và $400 < x < 2600$.

• b) $x \ \vdots \ 12; \ x \ \vdots \ 21; \ x \ \vdots \ 28$ và $x < 500$.

Dạng 5: Bài toán tìm x trong phép chia có dư

Bài toán 12: Tìm số tự nhiên $x$ lớn nhất sao cho khi lấy 13; 15; 61 chia cho $x$ đều dư 1.

• Hướng dẫn giải: Vì các số chia cho $x$ dư 1 nên ta trừ đi phần dư để được phép chia hết:

  $13 - 1 = 12$ chia hết cho $x$

  $15 - 1 = 14$ chia hết cho $x$

  $61 - 1 = 60$ chia hết cho $x$

  Vì $x$ lớn nhất nên $x$ chính là ước chung lớn nhất của 12, 14, 60.

  Ta tìm được $x = \text{ƯCLN}(12; 14; 60) = 2$.

Bài toán 13: Tìm số tự nhiên $x$ lớn nhất sao cho 44; 86; 65 chia cho $x$ đều dư 2.

• Đáp số: $x = \text{ƯCLN}(42; 84; 63) = 21$.

Bài toán 14: Tìm số tự nhiên $x$, biết 167 chia cho $x$ dư 17 và 235 chia cho $x$ dư 25.

• Đáp số: Điều kiện là $x > 25$. Ta có $150 \ \vdots \ x$ và $210 \ \vdots \ x$. Từ đó tìm được $x = 30$.

Bài toán 15: Tìm số tự nhiên $x$ biết khi chia 268 cho $x$ thì dư 18; còn 390 chia cho $x$ dư 40.

• Đáp số: Điều kiện là $x > 40$. Ta có $250 \ \vdots \ x$ và $350 \ \vdots \ x$. Từ đó tìm được $x = 50$.

Bài toán 16: Tìm số tự nhiên $x$ lớn nhất thỏa mãn: 27 chia cho $x$ dư 3; 38 chia cho $x$ dư 2 và 49 chia cho $x$ dư 1.

• Đáp số: $x = \text{ƯCLN}(24; 36; 48) = 12$.

Bài toán 17: Tìm số tự nhiên $x$ nhỏ nhất biết khi chia $x$ cho các số 5; 7; 11 thì được các số dư lần lượt là 3; 4; 5.

• Hướng dẫn giải: Vì $x$ chia 5 dư 3 nên $x - 3$ chia hết cho 5. Ta có $x - 3 + 20 = x + 17$ cũng chia hết cho 5.

  Vì $x$ chia 7 dư 4 nên $x - 4$ chia hết cho 7. Ta có $x - 4 + 21 = x + 17$ cũng chia hết cho 7.

  Vì $x$ chia 11 dư 5 nên $x - 5$ chia hết cho 11. Ta có $x - 5 + 22 = x + 17$ cũng chia hết cho 11.

  Do đó, biểu thức $(x + 17)$ chính là bội chung nhỏ nhất của 5, 7, 11.

  Ta tính được $\text{BCNN}(5; 7; 11) = 5 \cdot 7 \cdot 11 = 385$.

  Biểu thức tìm ẩn số:

  $x + 17 = 385$

  $x = 385 - 17$

  $x = 368$

• Đáp số: $x = 368$.

Dạng 6: Giải toán đố thực tế bằng lời văn

Bài toán 18: Học sinh của lớp 6A khi xếp thành hàng 2, hàng 3, hàng 4 hoặc hàng 8 đều vừa đủ. Biết số học sinh của lớp trong khoảng từ 38 đến 60 em. Tính số học sinh lớp 6A.

• Đáp số: Gọi số học sinh là $x$, ta có $x$ thuộc tập hợp $BC(2; 3; 4; 8)$ và $38 \leq x \leq 60$. Ta tìm được kết quả là $48$ học sinh.

Bài toán 19: Số học sinh của lớp 6A từ 40 đến 50 em. Khi xếp thành hàng 3 hoặc hàng 5 đều dư 2 em. Tính số học sinh lớp 6A.

• Đáp số: Biểu thức $(x - 2)$ thuộc tập hợp $BC(3; 5) = \{0; 15; 30; 45; 60; \dots\}$. Vì số học sinh trong khoảng từ 40 đến 50 nên $x - 2 = 45$, ta tính được $x = 47$ học sinh.

Bài toán 20: Học sinh khối 6 của một trường có từ 200 đến 300 em. Nếu xếp thành hàng 4, hàng 5 hoặc hàng 7 đều dư 1 em. Tìm số học sinh khối 6.

• Đáp số: 281 học sinh.

Bài toán 21: Có 96 cái bánh và 84 cái kẹo được chia đều vào mỗi đĩa. Hỏi có thể chia được nhiều nhất thành bao nhiêu đĩa? Khi ấy mỗi đĩa có bao nhiêu cái bánh, bao nhiêu cái kẹo?

• Đáp số: Số đĩa lớn nhất là $\text{ƯCLN}(96; 84) = 12$ đĩa. Khi đó mỗi đĩa có 8 bánh và 7 kẹo.

Bài toán 22: Một lớp 6 có 24 nữ và 20 nam được chia thành các tổ sao cho số nam và số nữ được chia đều vào mỗi tổ. Hỏi chia được nhiều nhất bao nhiêu tổ? Khi ấy tính số nam và số nữ mỗi tổ.

• Đáp số: 4 tổ. Mỗi tổ có 6 nữ và 5 nam.

Bài toán 23: Có 60 quyển vở và 42 bút bi được chia thành từng phần thưởng. Hỏi có thể chia nhiều nhất được bao nhiêu phần để số vở và số bút bi được chia đều? Khi ấy mỗi phần có bao nhiêu vở và bút bi?

• Đáp số: 6 phần. Mỗi phần có 10 vở và 7 bút.

Bài toán 24: Một khu đất hình chữ nhật có chiều dài $105\text{ m}$ và chiều rộng $75\text{ m}$ được chia thành các ô hình vuông có diện tích bằng nhau. Tính độ dài cạnh hình vuông lớn nhất trong các cách chia trên.

• Đáp số: Cạnh hình vuông lớn nhất là $\text{ƯCLN}(105; 75) = 15\text{ m}$.

Bài toán 25: Đội A và đội B cùng phải trồng một số cây bằng nhau. Biết mỗi người đội A phải trồng 8 cây, mỗi người đội B phải trồng 9 cây và số cây mỗi đội phải trồng khoảng từ 100 đến 200 cây. Tìm số cây mà mỗi đội phải trồng.

• Đáp số: $144$ cây.

Bài toán 26: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài $112\text{ m}$ và chiều rộng $40\text{ m}$. Người ta muốn chia mảnh đất thành những ô vuông bằng nhau lớn nhất để trồng rau. Tính độ dài cạnh ô vuông lớn nhất.

• Đáp số: $\text{ƯCLN}(112; 40) = 8\text{ m}$.

Bài toán 27: Có 133 quyển vở, 80 bút bi, 177 tập giấy. Người ta chia vở, bút, giấy thành các phần thưởng bằng nhau. Nhưng sau khi chia xong còn thừa 13 quyển vở, 8 bút và 2 tập giấy không đủ chia vào các phần thưởng khác. Tính số phần thưởng chia được.

• Đáp số: Số phần thưởng là ước chung lớn nhất của $(133-13)$, $(80-8)$ và $(177-2)$. Ta tính được $\text{ƯCLN}(120; 72; 175) = 3$ phần thưởng.

Bài toán 28: Một đơn vị bộ đội khi xếp thành mỗi hàng 20 người, 25 người hoặc 30 người đều thừa 15 người. Nếu xếp thành hàng 41 người thì vừa đủ. Hỏi đơn vị đó có bao nhiêu người, biết số người chưa đến 1000 người.

• Đáp số: $615$ người.

Bài toán 29: Số học sinh khối 6 của một trường khoảng từ 300 đến 400 học sinh. Mỗi lần xếp hàng 12, hàng 15, hàng 18 đều vừa đủ không thừa ai. Hỏi trường đó khối 6 có bao nhiêu học sinh.

• Đáp số: Ta có $\text{BCNN}(12; 15; 18) = 180$. Bội của 180 nằm trong khoảng từ 300 đến 400 là $360$ học sinh.

Bài toán 30: Cô giáo chủ nhiệm muốn chia 128 quyển vở, 48 bút chì và 192 tập giấy thành một số phần thưởng như nhau. Hỏi có thể chia được nhiều nhất bao nhiêu phần thưởng, khi đó mỗi phần có bao nhiêu dụng cụ học tập?

• Đáp số: 16 phần thưởng. Mỗi phần gồm 8 quyển vở, 3 bút chì, 12 tập giấy.

Dạng 7: Toán nâng cao chuyên đề tìm x để biểu thức nguyên

Bài toán 31: Tìm các giá trị nguyên củabiến$x$để thỏa mãn các phép chia hết sau:

• a)$1 \ \vdots \ (x + 7)$. Suy ra$x + 7$thuộc tập hợp ước của 1 là$\{-1; 1\}$. Ta tính được$x \in \{-8; -6\}$ 

• b)$4 \ \vdots \ (x - 5)$. Suy ra $x - 5$ thuộc tập hợp ước của 4. Ta tính được $x \in \{-3; 1; 3; 4; 6; 7; 9\}$ 

• c) $(x + 8) \ \vdots \ (x + 7)$. Ta tách tử số thành $(x + 7 + 1)$ chia hết cho $(x + 7)$. Suy ra $1 \ \vdots \ (x + 7)$, ta tìm được $x \in \{-8; -6\}$.

• d) $(2x + 16) \ \vdots \ (x + 7)$. Ta tách tử số thành $[2(x + 7) + 2]$ chia hết cho $(x + 7)$. Suy ra $2 \ \vdots \ (x + 7)$, ta tìm được $x \in \{-9; -8; -6; -5\}$.

• e) $(2x - 9) \ \vdots \ (x - 5)$. Ta tách tử số thành $[2(x - 5) + 1]$ chia hết cho $(x - 5)$. Suy ra $1 \ \vdots \ (x - 5)$, ta tìm được $x \in \{4; 6\}$.

• g) $(x^2 - x - 1) \ \vdots \ (x - 1)$. Ta tách tử số thành $[x(x - 1) - 1]$ chia hết cho $(x - 1)$. Suy ra $-1 \ \vdots \ (x - 1)$, ta tìm được $x \in \{0; 2\}$.

• h) $(x^2 - 3x - 5) \ \vdots \ (x - 3)$. Ta tách tử số thành $[x(x - 3) - 5]$ chia hết cho $(x - 3)$. Suy ra $-5 \ \vdots \ (x - 3)$, ta tìm được $x \in \{-2; 2; 4; 8\}$.

Bài toán 32: Với mọi số nguyên $x \in \mathbb{Z}$, hãy chứng minh rằng:

• a) Biểu thức $[x(x + 1) + 1]$ không chia hết cho 2 Chứng minh: Ta biết tích của hai số nguyên liên tiếp $x(x + 1)$ luôn luôn là một số chẵn (chia hết cho 2). Do đó, khi cộng thêm 1 đơn vị, biểu thức $[x(x + 1) + 1]$ sẽ trở thành một số lẻ, hiển nhiên không chia hết cho 2.

• b) Biểu thức $(x^2 + x + 1)$ không chia hết cho 2 Chứng minh: Phân tích đa thức bằng cách nhóm hạng tử: $x^2 + x + 1 = x(x + 1) + 1$. Dựa vào lập luận ở câu a, biểu thức luôn lẻ nên không chia hết cho 2.

• c) Biểu thức $[3(x^2 + 2x) + 1]$ không chia hết cho 3 Chứng minh: Nhận thấy tích hạng tử $3(x^2 + 2x)$ hiển nhiên luôn chia hết cho 3 với mọi số nguyên $x$. Khi cộng thêm 1 đơn vị, biểu thức chia cho 3 sẽ luôn nhận số dư là 1, do đó hoàn toàn không chia hết cho 3.

• d) Biểu thức $(3x^2 + 6x + 1)$ không chia hết cho 3 Chứng minh: Đặt hằng số 3 làm nhân tử chung cho hai hạng tử đầu, ta được: $3(x^2 + 2x) + 1$. Biến đổi tương tự câu c, biểu thức chia 3 luôn dư 1 nên không chia hết cho 3.