Bài tập về dấu hiệu chia hết cho 2, 5, 3, 9 và cách giải (chuẩn nhất)

Nhằm giúp các em hệ thống hóa lại kiến thức một cách vững vàng, tăng cường khả năng phản xạ tính toán nhanh và tự tin xử lý các bài toán tự luận trên lớp, bài viết này Hay Học Hỏi sẽ chia sẻ kho lý thuyết tóm tắt siêu dễ nhớ cùng hệ thống bài tập vận dụng phong phú có lời giải chi tiết.

I. Tóm Tắt Lý Thuyết Về Dấu Hiệu Chia Hết

Để bắt tay vào làm bài tập một cách chính xác, trước tiên các em học sinh cần nắm vững bản chất toán học của từng dấu hiệu chia hết sau đây:

1. Dấu hiệu chia hết cho 2

Một số tự nhiên chia hết cho 2 khi và chỉ khi số đó có chữ số tận cùng là một số chẵn, bao gồm các chữ số: $0; 2; 4; 6; 8$.

• Ví dụ: Các số như 2014, 2026, 7506,... đều chia hết cho 2 vì chữ số tận cùng của chúng đều là số chẵn.

2. Dấu hiệu chia hết cho 5

Một số tự nhiên chia hết cho 5 khi và chỉ khi số đó có chữ số tận cùng bằng $0$ hoặc bằng $5$.

• Ví dụ: Các số như 2005, 1535, 2030,... đều chia hết cho 5.

Mẹo kết hợp toán học: Những số tự nhiên đồng thời chia hết cho cả 2 và 5 bắt buộc phải có chữ số tận cùng duy nhất bằng 0. (Ví dụ: 10, 20, 2030,...).

3. Dấu hiệu chia hết cho 3

Một số tự nhiên chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số cấu tạo nên số đó chia hết cho 3.

4. Dấu hiệu chia hết cho 9

Một số tự nhiên chia hết cho 9 khi và chỉ khi tổng các chữ số cấu tạo nên số đó chia hết cho 9.

Mối quan hệ đặc biệt giữa 3 và 9:

• Một số tự nhiên đã chia hết cho 9 thì chắc chắn số đó sẽ chia hết cho 3.

• Ngược lại, một số tự nhiên chia hết cho 3 thì chưa chắc đã chia hết cho 9.

• Ví dụ: Số 1503 có tổng các chữ số là $1 + 5 + 0 + 3 = 9$, số này chia hết cho 9 nên hiển nhiên nó cũng chia hết cho 3. Còn số 114 có tổng chữ số là $1 + 1 + 4 = 6$, số này chia hết cho 3 nhưng hoàn toàn không chia hết cho 9.

Bảng tổng hợp dấu hiệu chia hết (Cơ bản và Mở rộng)

Để các em tiện tra cứu trong quá trình làm bài, dưới đây là bảng hệ thống toàn bộ các dấu hiệu chia hết thường gặp nhất trong chương trình cấp Trung học cơ sở:

II. Hệ Thống Bài Tập Vận Dụng

Các em hãy chép lại các đề bài dưới đây vào vở nháp, vận dụng các quy tắc xét chữ số tận cùng và tổng chữ số để thực hành tự tìm đáp án trước khi xem phần hướng dẫn giải nhé:

• Bài tập 1: Cho tập hợp các số tự nhiên sau: $2064; 1491; 3780; 7506$. Trong các số trên, hãy xác định:

  • a) Số nào chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9?

  • b) Số nào chia hết cho cả 3 và 9?

  • c) Số nào chia hết cho cả bộ ba số: 2; 3 và 9?

  • d) Số nào đồng thời chia hết cho cả bốn số: 2; 3; 5 và 9?

• Bài tập 2: Cho tập hợp các số tự nhiên sau: $2141; 1345; 4620; 234$. Trong các số trên, hãy xác định:

  • a) Số nào chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 5?

  • b) Số nào chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 2?

  • c) Số nào chia hết cho cả hai số 2 và 5?

  • d) Số nào không chia hết cho cả hai số 2 và 5?

• Bài tập 3 (Dạng toán tìm ẩn số): Hãy tìm và điền chữ số thích hợp vào vị trí dấu sao $(*)$ để thỏa mãn điều kiện đề bài:

  • a) Số $\overline{825^*}$ chia hết cho cả 3 và 5.

  • b) Số $\overline{617^*}$ chia hết cho cả 2 và 5.

  • c) Số $\overline{316^*}$ chia hết cho cả 2 và 3.

  • d) Số $\overline{43^*}$ chia hết cho cả 3 và 9.

  • e) Số $\overline{7^*06}$ chia hết cho cả ba số: 2; 3 và 9.

  • f) Số $\overline{^*470}$ chia hết cho cả ba số: 2; 3 và 5.

  • g) Số $\overline{^*81^*}$ đồng thời chia hết cho cả bốn số: 2; 3; 5 và 9.

III. Hướng Dẫn Giải Chi Tiết Và Đáp Án Tham Khảo

Hướng dẫn giải Bài tập 1

Để giải quyết bài toán này, trước hết ta đi tính tổng các chữ số của từng số để làm cơ sở xét tính chia hết cho 3 và 9:

• Số 2064 có tổng các chữ số là: $2 + 0 + 6 + 4 = 12$ (số 12 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9).

• Số 1491 có tổng các chữ số là: $1 + 4 + 9 + 1 = 15$ (số 15 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9).

• Số 3780 có tổng các chữ số là: $3 + 7 + 8 + 0 = 18$ (số 18 chia hết cho cả 3 và 9).

• Số 7506 có tổng các chữ số là: $7 + 5 + 0 + 6 = 18$ (số 18 chia hết cho cả 3 và 9).

Lời giải chi tiết từng câu:

• Câu a: Dựa vào phần tính tổng chữ số ở trên, các số chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 là: 2064 và 1491.

• Câu b: Các số có tổng chữ số bằng 18 nên chia hết cho cả 3 và 9 là: 3780 và 7506.

• Câu c: Để chia hết cho cả 2, 3 và 9 thì số đó vừa phải chia hết cho 9, vừa phải là số chẵn. Nhìn vào hai số thỏa mãn chia hết cho 9 là 3780 và 7506, ta thấy cả hai số này đều có chữ số tận cùng lần lượt là 0 và 6 (đều là số chẵn). Do đó, cả hai số này đều thỏa mãn.

  Đáp số câu c là: 3780 và 7506.

• Câu d: Để một số đồng thời chia hết cho cả 2, 3, 5, 9 thì số đó bắt buộc phải chia hết cho 9 và có chữ số tận cùng bằng 0. Lọc trong danh sách đề bài, số thỏa mãn duy nhất là: 3780.

Hướng dẫn giải Bài tập 2

Đối với bài toán này, các em chỉ cần chú ý quan sát chữ số tận cùng ở hàng đơn vị của từng số:

• Số 2141 có chữ số tận cùng là 1.

• Số 1345 có chữ số tận cùng là 5.

• Số 4620 có chữ số tận cùng là 0.

• Số 234 có chữ số tận cùng là 4.

Lời giải chi tiết từng câu:

• Câu a: Số chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 5 là số có chữ số tận cùng là số chẵn nhưng phải khác 0 và khác 5. Số thỏa mãn là: 234 (tận cùng bằng 4).

• Câu b: Số chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 2 là số có chữ số tận cùng bằng 5. Số thỏa mãn là: 1345.

• Câu c: Số chia hết cho cả 2 và 5 là số có chữ số tận cùng bằng 0. Số thỏa mãn là: 4620.

• Câu d: Số không chia hết cho cả 2 và 5 là số có chữ số tận cùng là một số lẻ khác 5. Số thỏa mãn là: 2141 (tận cùng bằng 1).

Hướng dẫn giải Bài tập 3

• Câu a: Tìm chữ số $*$ để số $\overline{825^*}$ chia hết cho 3 và 5 Để số $\overline{825^*}$ chia hết cho 5 thì chữ số tận cùng $*$ phải bằng 0 hoặc bằng 5.

  Ta tiến hành chia làm hai trường hợp nhỏ:

  Trường hợp 1: Nếu chữ số $*$ bằng 0, số trở thành 8250. Tổng các chữ số lúc này là $8 + 2 + 5 + 0 = 15$. Vì số 15 chia hết cho 3 nên giá trị $* = 0$ hoàn toàn thỏa mãn.

  Trường hợp 2: Nếu chữ số $*$ bằng 5, số trở thành 8255. Tổng các chữ số lúc này là $8 + 2 + 5 + 5 = 20$. Vì số 20 không chia hết cho 3 nên giá trị $* = 5$ bị loại.

  Kết luận câu a: Chữ số cần điền là $* = 0$.

• Câu b: Tìm chữ số $*$ để số $\overline{617^*}$ chia hết cho 2 và 5 Theo mẹo kết hợp toán học, để một số tự nhiên đồng thời chia hết cho cả hai số 2 và 5 thì chữ số tận cùng của số đó bắt buộc phải bằng 0.

  Kết luận câu b: Chữ số cần điền là $* = 0$.

• Câu c: Tìm chữ số $*$ để số $\overline{316^*}$ chia hết cho 2 và 3 Để số $\overline{316^*}$ chia hết cho 2 thì chữ số tận cùng $*$ phải là một số chẵn thuộc tập hợp $\{0; 2; 4; 6; 8\}$.

  Để số $\overline{316^*}$ chia hết cho 3 thì tổng các chữ số phải chia hết cho 3, nghĩa là tổng $(3 + 1 + 6 + *)$ phải chia hết cho 3, thu gọn thành tổng $(10 + *)$ phải chia hết cho 3.

  Ta thực hiện thay lần lượt các giá trị chẵn ở trên vào tổng để kiểm tra:

  Nếu $*$ bằng 0 thì tổng bằng 10 (loại).

  Nếu $*$ bằng 2 thì tổng bằng 12 (thỏa mãn vì 12 chia hết cho 3).

  Nếu $*$ bằng 4 thì tổng bằng 14 (loại).

  Nếu $*$ bằng 6 thì tổng bằng 16 (loại).

  Nếu $*$ bằng 8 thì tổng bằng 18 (thỏa mãn vì 18 chia hết cho 3).

  Kết luận câu c: Chữ số thích hợp để điền vào ô trống là $* \in \{2; 8\}$.

• Câu d: Tìm chữ số $*$ để số $\overline{43^*}$ chia hết cho 3 và 9 Vì một số tự nhiên hễ chia hết cho 9 thì chắc chắn số đó sẽ chia hết cho 3, nên bài toán này thực chất quy về việc tìm chữ số $*$ để số $\overline{43^*}$ chia hết cho 9.

  Để số $\overline{43^*}$ chia hết cho 9 thì tổng các chữ số của nó phải chia hết cho 9, nghĩa là tổng $(4 + 3 + *)$ phải chia hết cho 9, thu gọn thành tổng $(7 + *)$ phải chia hết cho 9.

  Do $*$ là một chữ số từ 0 đến 9 nên giá trị thích hợp duy nhất là $* = 2$ (vì $7 + 2 = 9$ chia hết cho 9).

  Kết luận câu d: Chữ số cần điền là $* = 2$.

• Câu e: Tìm chữ số $*$ để số $\overline{7^*06}$ chia hết cho 2, 3 và 9 Nhận thấy số $\overline{7^*06}$ có chữ số tận cùng bằng 6 là một số chẵn nên số này đã hiển nhiên luôn chia hết cho 2 với mọi giá trị chữ số $*$.

  Tương tự như lập luận ở câu d, số chia hết cho 9 thì tự động chia hết cho 3. Ta chỉ cần tìm giá trị để tổng các chữ số chia hết cho 9, nghĩa là tổng $(7 + * + 0 + 6)$ phải chia hết cho 9, thu gọn thành tổng $(13 + *)$ phải chia hết cho 9.

  Chữ số tự nhiên phù hợp duy nhất thỏa mãn điều kiện này là $* = 5$ (vì $13 + 5 = 18$ chia hết cho 9).

  Kết luận câu e: Chữ số cần điền là $* = 5$.

• Câu f: Tìm chữ số $*$ để số $\overline{^*470}$ chia hết cho 2, 3 và 5 Số $\overline{^*470}$ có chữ số tận cùng ở hàng đơn vị bằng 0 nên số này đã hiển nhiên chia hết cho cả hai số 2 và 5 với mọi giá trị của $*$.

  Để số $\overline{^*470}$ chia hết cho 3 thì tổng các chữ số phải chia hết cho 3, nghĩa là tổng $(* + 4 + 7 + 0)$ phải chia hết cho 3, thu gọn thành tổng $(* + 11)$ phải chia hết cho 3.

  Vì $*$ là chữ số đứng ở vị trí hàng đầu tiên nên $*$ bắt buộc phải nhận giá trị lớn hơn 0. Các chữ số từ 1 đến 9 thỏa mãn điều kiện trên bao gồm: $* \in \{1; 4; 7\}$.

  Kết luận câu f: Chữ số cần điền là $* \in \{1; 4; 7\}$.

• Câu g: Tìm các chữ số thích hợp để số $\overline{^*81^*}$ chia hết cho cả 2, 3, 5, 9 Để dễ trình bày bài toán, ta gọi số cần tìm dưới dạng tổng quát là $\overline{a81b}$ (với điều kiện chữ số đầu tiên $a$ phải khác 0).

  Để số $\overline{a81b}$ đồng thời chia hết cho cả hai số 2 và 5 thì chữ số tận cùng bắt buộc phải bằng 0, nghĩa là $b = 0$. Lúc này, số của chúng ta có dạng $\overline{a810}$.

  Để số $\overline{a810}$ chia hết cho 9 (và tự động chia hết cho 3), tổng các chữ số của nó phải chia hết cho 9, nghĩa là tổng $(a + 8 + 1 + 0)$ phải chia hết cho 9, thu gọn thành tổng $(a + 9)$ phải chia hết cho 9.

  Vì chữ số hàng đầu tiên $a$ phải khác 0 nên giá trị số tự nhiên thích hợp duy nhất là $a = 9$ (vì $9 + 9 = 18$ chia hết cho 9).

  Kết luận câu g: Chữ số đầu tiên ta điền số 9, chữ số cuối cùng ta điền số 0. Ta thu được số hoàn chỉnh thỏa mãn yêu cầu là 9810.