Các bài toán vận dụng tính chất và dấu hiệu chia hết Toán 6 (hay nhất)

Bài viết này Hay Học Hỏi sẽ hệ thống hóa lại toàn bộ lý thuyết cốt lõi, phân loại 4 dạng toán chia hết thường gặp nhất cùng hướng dẫn giải chi tiết để các em dễ dàng ghi nhớ và vận dụng.

I. Tóm Tắt Lý Thuyết Về Tính Chất Và Dấu Hiệu Chia Hết

1. Dấu hiệu chia hết cơ bản

• Dấu hiệu chia hết cho 2: Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi số đó có chữ số tận cùng là một trong các chữ số chẵn: $0; 2; 4; 6; 8$.

• Dấu hiệu chia hết cho 5: Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi số đó có chữ số tận cùng bằng $0$ hoặc $5$.

• Dấu hiệu chia hết cho 3 (hoặc 9): Một số chia hết cho 3 (hoặc 9) khi và chỉ khi tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3 (hoặc 9).

2. Dấu hiệu chia hết nâng cao

• Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25): Một số chia hết cho 4 (hoặc 25) khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng của nó tạo thành một số chia hết cho 4 (hoặc 25).

• Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc 125): Một số chia hết cho 8 (hoặc 125) khi và chỉ khi ba chữ số tận cùng của nó tạo thành một số chia hết cho 8 (hoặc 125).

• Dấu hiệu chia hết cho 11: Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số ở hàng lẻ và tổng các chữ số ở hàng chẵn (hoặc ngược lại) chia hết cho 11.

3. Tính chất chia hết cơ bản

a) Tính chất chung

• Bất kỳ số tự nhiên nào khác $0$ cũng luôn chia hết cho chính nó.

• Tính chất bắc cầu: Nếu số $a$ chia hết cho $b$, và $b$ lại chia hết cho $c$, thì ta suy ra $a$ chia hết cho $c$.

• Số $0$ chia hết cho mọi số tự nhiên $b$ khác $0$.

• Bất kỳ số tự nhiên nào cũng đều chia hết cho $1$.

b) Các tính chất bổ trợ quan trọng

• Nếu số $a$ chia hết cho $b$, và số $b$ cũng chia hết cho $a$, thì ta suy ra $a = b$.

• Chia hết của một tổng/hiệu: Nếu cả hai số $a$ và $b$ cùng chia hết cho $m$, thì tổng $a + b$ và hiệu $a - b$ cũng chia hết cho $m$.

• Nếu một trong hai số $a$ hoặc $b$ chia hết cho $m$, số còn lại không chia hết cho $m$, thì tổng $a + b$ và hiệu $a - b$ chắc chắn không chia hết cho $m$.

• Nếu số $a$ chia hết cho cả $b$ và $c$, đồng thời hai số $b, c$ là hai số nguyên tố cùng nhau, thì $a$ sẽ chia hết cho tích $b \cdot c$.

• Nếu tích $a \cdot b$ chia hết cho $c$, mà $b$ và $c$ là hai số nguyên tố cùng nhau, thì số $a$ phải chia hết cho $c$.

• Nếu số $a$ chia hết cho $m$, thì tích $k \cdot a$ cũng chia hết cho $m$ với mọi số tự nhiên $k$.

• Nếu số $a$ chia hết cho $m$, và $b$ chia hết cho $n$, thì tích $a \cdot b$ sẽ chia hết cho tích $m \cdot n$.

• Nếu tích $a \cdot b$ chia hết cho số nguyên tố $m$, thì số $a$ chia hết cho $m$ hoặc số $b$ chia hết cho $m$.

• Nếu số $a$ chia hết cho $m$, thì lũy thừa $a^n$ cũng chia hết cho $m$ với mọi số mũ tự nhiên $n$.

• Nếu số $a$ chia hết cho $b$, thì lũy thừa $a^n$ cũng chia hết cho $b^n$ với mọi số mũ tự nhiên $n$.

4. Tính chất chia hết nâng cao (Dãy số hạng)

• Nếu tất cả các số hạng trong một tổng đều chia hết cho $m$:

  $$a_1 \ \vdots \ m, \ a_2 \ \vdots \ m, \ \dots, \ a_n \ \vdots \ m$$

  Ta suy ra tổng tổng thể của chúng cũng chia hết cho $m$:

  $$(a_1 + a_2 + \dots + a_n) \ \vdots \ m$$

• Nếu trong một tổng chỉ có duy nhất một số hạng không chia hết cho $m$, còn tất cả các số hạng khác đều chia hết cho $m$:

  $$a_1 \not\vdots \ m, \ a_2 \ \vdots \ m, \ \dots, \ a_n \ \vdots \ m$$

  Ta suy ra tổng tổng thể của chúng không chia hết cho $m$:

  $$(a_1 + a_2 + \dots + a_n) \not\vdots \ m$$

• Nếu hai số $a$ và $b$ đều chia hết cho $m$, thì biểu thức kết hợp tuyến tính dưới đây cũng chia hết cho $m$ với mọi số tự nhiên $k_1, k_2$:

  $$(k_1 \cdot a + k_2 \cdot b) \ \vdots \ m$$

• Nếu biết hai số $a, b$ đều chia hết cho $m$, mà tổng $(a + b + c)$ lại chia hết cho $m$, thì ta suy ra số hạng còn lại $c$ bắt buộc phải chia hết cho $m$.

• Tương tự, nếu hai số $a, b$ đều chia hết cho $m$, mà tổng $(a + b + c)$ không chia hết cho $m$, thì ta suy ra số hạng $c$ không chia hết cho $m$.

II. Các Dạng Bài Toán Vận Dụng Tính Chất Và Dấu Hiệu Chia Hết

Dạng 1: Không thực hiện phép tính, chứng minh số a chia hết cho số b

• Phương pháp giải: Ta phân tích số $a$ thành một tích các thừa số số học, trong đó có xuất hiện thừa số bằng số $b$ hoặc là bội của số $b$. Áp dụng tính chất một thừa số chia hết thì cả tích chia hết để lập luận.

Bài tập 1: Không thực hiện phép tính, em hãy chứng tỏ rằng các biểu thức sau:

a) Tích $26 \cdot 2020$ chia hết cho 13

b) Tích $2014 \cdot 2019$ chia hết cho 3

c) Tích $1411 \cdot 2020$ chia hết cho 17

Lời giải chi tiết:

• a) Ta thực hiện tách số 26 thành tích:

  $26 \cdot 2020 = 2 \cdot 13 \cdot 2020$

  Vì trong tích có chứa thừa số 13 chia hết cho 13, nên theo tính chất chia hết của một tích, biểu thức trên chia hết cho 13.

• b) Ta thực hiện phân tích số 2019 thành tích:

  $2014 \cdot 2019 = 2014 \cdot 3 \cdot 673$

  Vì trong tích có chứa thừa số 3 chia hết cho 3, nên biểu thức trên chia hết cho 3.

• c) Ta thực hiện phân tích số 1411 thành tích:

  $1411 \cdot 2020 = 17 \cdot 83 \cdot 2020$

  Vì trong tích có chứa thừa số 17 chia hết cho 17, nên biểu thức trên chia hết cho 17.

Bài tập 2: Chứng minh rằng biểu thức lũy thừa $(7a)^{2026}$ luôn chia hết cho 49 với mọi số tự nhiên $a$.

Lời giải chi tiết:

Ta thực hiện khai triển lũy thừa của một tích:

$(7a)^{2026} = 7^{2026} \cdot a^{2026}$

Tách nhỏ số mũ của cơ số 7 để làm xuất hiện bình phương:

$= 7^2 \cdot 7^{2024} \cdot a^{2026}$

$= 49 \cdot 7^{2024} \cdot a^{2026}$

Vì tích trên có chứa hằng số 49 chia hết cho 49, nên biểu thức $49 \cdot 7^{2024} \cdot a^{2026}$ luôn chia hết cho 49.

Vậy biểu thức $(7a)^{2026}$ chia hết cho 49 với mọi số tự nhiên $a$.

Dạng 2: Tìm điều kiện của chữ số điền vào ô trống để thỏa mãn phép chia hết

• Phương pháp giải: Vận dụng các dấu hiệu chia hết đặc trưng của các số để thiết lập biểu thức tính tổng các chữ số hoặc xét chữ số tận cùng.

Bài tập 1: Điền chữ số thích hợp vào vị trí dấu sao $(*)$ để thỏa mãn:

a) Số $\overline{6*5}$ chia hết cho 3

b) Số $\overline{5*4}$ chia hết cho 9

Lời giải chi tiết:

• a) Để số $\overline{6*5}$ chia hết cho 3, ta áp dụng dấu hiệu tổng các chữ số:

  $(6 + * + 5)$ phải chia hết cho 3

  $(11 + *)$ phải chia hết cho 3

  Vì $*$ là chữ số từ 0 đến 9, nên các giá trị thỏa mãn để tổng là bội của 3 gồm có: $* \in \{1; 4; 7\}$.

• b) Để số $\overline{5*4}$ chia hết cho 9, ta áp dụng dấu hiệu tổng các chữ số:

  $(5 + * + 4)$ phải chia hết cho 9

  $(9 + *)$ phải chia hết cho 9

  Vì $*$ là chữ số nên các giá trị thỏa mãn để tổng chia hết cho 9 gồm có: $* \in \{0; 9\}$.

Bài tập 2: Tìm các chữ số $a$ và $b$ sao cho số $\overline{a63b}$ đồng thời chia hết cho cả bốn số: 2; 3; 5 và 9.

Lời giải chi tiết:

Xét dấu hiệu chia hết liên quan đến chữ số tận cùng trước:

Để số $\overline{a63b}$ chia hết cho 2 thì chữ số tận cùng $b$ phải thuộc tập hợp $\{0; 2; 4; 6; 8\}$.

Để số $\overline{a63b}$ chia hết cho 5 thì chữ số tận cùng $b$ phải thuộc tập hợp $\{0; 5\}$.

Do đó, để số $\overline{a63b}$ đồng thời chia hết cho cả 2 và 5 thì chữ số tận cùng $b$ bắt buộc phải bằng 0.

Lúc này, số cần tìm có dạng là $\overline{a630}$.

Để số $\overline{a630}$ chia hết cho 9 (khi một số chia hết cho 9 thì hiển nhiên nó cũng sẽ chia hết cho 3), ta áp dụng tính chất tổng các chữ số:

$(a + 6 + 3 + 0)$ phải chia hết cho 9

$(a + 9)$ phải chia hết cho 9

Do chữ số hàng đầu tiên $a$ phải khác 0, nên giá trị thỏa mãn duy nhất là $a = 9$.

Kết luận: Cặp chữ số cần tìm là $a = 9$ và $b = 0$.

Bài tập 3: Tìm chữ số $a$ để số $\overline{a2026}$ chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9.

Lời giải chi tiết:

Ta tiến hành tính tổng các chữ số của số trên:

Tử số tổng = $a + 2 + 0 + 2 + 6 = a + 10$

Để số $\overline{a2026}$ chia hết cho 3, tổng $(a + 10)$ phải là bội của 3. Các giá trị chữ số $a$ thỏa mãn là $a \in \{2; 5; 8\}$.

Ta thực hiện thử lại từng giá trị để kiểm tra điều kiện không chia hết cho 9:

• Với $a = 2$, tổng các chữ số bằng $2 + 10 = 12$ (thỏa mãn chia hết cho 3 và không chia hết cho 9).

• Với $a = 5$, tổng các chữ số bằng $5 + 10 = 15$ (thỏa mãn chia hết cho 3 và không chia hết cho 9).

• Với $a = 8$, tổng các chữ số bằng $8 + 10 = 18$ (loại vì số này chia hết cho 9).

Kết luận: Chữ số cần tìm là $a = 2$ hoặc $a = 5$.

Dạng 3: Chứng minh một biểu thức dãy số chia hết cho một số

• Phương pháp giải: Ta sử dụng phương pháp nhóm các số hạng liên tiếp lại thành từng nhóm nhỏ (mỗi nhóm gồm 2, 3 hoặc 4 số hạng tùy thuộc vào số cần chứng minh). Sau đó đặt nhân tử chung ra ngoài để làm xuất hiện thừa số chia hết.

Bài tập 1: Chứng minh rằng chuỗi tổng lũy thừa $S = 5 + 5^2 + 5^3 + \dots + 5^{99} + 5^{100}$ chia hết cho 6.

Lời giải chi tiết:

Nhận thấy chuỗi tổng $S$ có tất cả 100 số hạng. Ta thực hiện nhóm hai số hạng liên tiếp liền kề lại với nhau thành một cặp, tổng cộng được 50 cặp nhóm:

$S = (5 + 5^2) + (5^3 + 5^4) + \dots + (5^{99} + 5^{100})$

Thực hiện đặt thừa số chung cho từng nhóm nhỏ:

$S = 5 \cdot (1 + 5) + 5^3 \cdot (1 + 5) + \dots + 5^{99} \cdot (1 + 5)$

$S = 5 \cdot 6 + 5^3 \cdot 6 + \dots + 5^{99} \cdot 6$

Đặt hằng số 6 ra ngoài làm nhân tử chung tổng thể:

$S = 6 \cdot (5 + 5^3 + 5^5 + \dots + 5^{99})$

Vì biểu thức tích trên có chứa thừa số 6 chia hết cho 6, nên theo tính chất, chuỗi tổng $S$ luôn chia hết cho 6.

Bài tập 2: Không thực hiện phép tính, hãy chứng minh các tổng và hiệu sau:

• a) Tổng $36 + 81 + 171$ chia hết cho 9

• b) Tổng $135 + 275 + 335$ chia hết cho 5

• c) Hiệu $2124 - 204$ chia hết cho 4

• d) Hiệu $6433 - 2058$ chia hết cho 7

Lời giải chi tiết:

• a) Ta xét từng số hạng của tổng: Số 36 chia hết cho 9; số 81 chia hết cho 9; số 171 có tổng các chữ số là $1+7+1=9$ nên chia hết cho 9. Vì tất cả các số hạng đều chia hết cho 9 nên tổng $(36 + 81 + 171)$ chia hết cho 9.

• b) Các số hạng $135; 275; 335$ đều có chữ số tận cùng bằng 5 nên chúng đều chia hết cho 5. Theo tính chất chia hết của một tổng, ta suy ra tổng này chia hết cho 5.

• c) Xét hai số hạng của hiệu: Số 2124 có hai chữ số tận cùng tạo thành số 24 chia hết cho 4; số 204 có hai chữ số tận cùng tạo thành số 04 chia hết cho 4. Vì cả số bị trừ và số trừ đều chia hết cho 4 nên hiệu $(2124 - 204)$ chia hết cho 4.

• d) Thực hiện phép thử chia: số 6433 chia cho 7 được 919; số 2058 chia cho 7 được 294. Vì cả hai số đều chia hết cho 7 nên hiệu $(6433 - 2058)$ chia hết cho 7.

Bài tập 3: Thực hiện chứng minh các hệ thức chia hết nâng cao sau:

a) Biểu thức $A = 1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^{11}$ chia hết cho 40.

b) Biểu thức $B = 5 + 5^2 + 5^3 + \dots + 5^8$ chia hết cho 30.

Lời giải chi tiết:

• a) Chuỗi tổng $A$ có tổng cộng 12 số hạng. Vì đề bài yêu cầu chứng minh chia hết cho 40, ta thực hiện nhóm bốn số hạng liên tiếp lại thành một nhóm nhỏ (tổng cộng lập được 3 nhóm):

  $A = (1 + 3 + 3^2 + 3^3) + 3^4 \cdot (1 + 3 + 3^2 + 3^3) + 3^8 \cdot (1 + 3 + 3^2 + 3^3)$

  Thực hiện tính giá trị thu gọn bên trong dấu ngoặc đơn:

  $1 + 3 + 9 + 27 = 40$

  Biểu thức $A$ trở thành:

  $A = 40 + 3^4 \cdot 40 + 3^8 \cdot 40$

  $A = 40 \cdot (1 + 3^4 + 3^8)$

  Vì tích chứa hằng số 40 nên ta kết luận biểu thức $A$ chia hết cho 40.

• b) Chuỗi tổng $B$ có tổng cộng 8 số hạng. Để chứng minh chia hết cho 30, ta thực hiện nhóm hai số hạng liên tiếp liền kề lại với nhau:

  $B = (5 + 5^2) + (5^3 + 5^4) + (5^5 + 5^6) + (5^7 + 5^8)$

  Đặt thừa số chung cho từng cụm ngoặc:

  $B = 5 \cdot (1 + 5) + 5^3 \cdot (1 + 5) + 5^5 \cdot (1 + 5) + 5^7 \cdot (1 + 5)$

  $B = 5 \cdot 6 + 5^3 \cdot 6 + 5^5 \cdot 6 + 5^7 \cdot 6$

  $B = 30 + 30 \cdot 5^2 + 30 \cdot 5^4 + 30 \cdot 5^6$

  $B = 30 \cdot (1 + 5^2 + 5^4 + 5^6)$

  Vì tích chứa hằng số 30 nên ta kết luận biểu thức $B$ chia hết cho 30.

Dạng 4: Một số dạng bài toán chứng minh tính chất số học khác

• Phương pháp giải: Viết cấu trúc đại số tổng quát của số tự nhiên chẵn, lẻ hoặc các số liên tiếp dưới dạng biểu thức chứa biến cụ thể (ví dụ số chẵn là $2k$, số lẻ là $2k+1$).

Bài tập 1: Chứng minh rằng tổng của ba số tự nhiên liên tiếp luôn luôn chia hết cho 3.

Lời giải chi tiết:

Ta gọi công thức tổng quát của ba số tự nhiên liên tiếp lần lượt là: $n$, \ $n + 1$ và $n + 2$ (với điều kiện $n$ là số tự nhiên).

Biểu thức tính tổng của ba số hạng trên là:

$S = n + (n + 1) + (n + 2)$

Thực hiện phá ngoặc và nhóm các hạng tử đồng dạng:

$S = (n + n + n) + (1 + 2)$

$S = 3n + 3$

Đặt hằng số 3 ra ngoài làm thừa số chung:

$S = 3 \cdot (n + 1)$

Vì tích trên có chứa thừa số 3 chia hết cho 3, nên tổng của ba số tự nhiên liên tiếp luôn luôn chia hết cho 3.

Bài tập 2: Chứng minh rằng tích của hai số tự nhiên liên tiếp luôn luôn chia hết cho 2.

Lời giải chi tiết:

Ta gọi công thức tổng quát của hai số tự nhiên liên tiếp lần lượt là: $b$ và $b + 1$ (với điều kiện $b$ là số tự nhiên).

Biểu thức tính tích của hai số hạng trên là: $P = b \cdot (b + 1)$.

Ta tiến hành xét hai trường hợp của số tự nhiên $b$:

• Trường hợp b là số chẵn: Ta viết số $b$ dưới dạng $b = 2k$ (với $k$ là số tự nhiên). Khi đó biểu thức tích trở thành: $P = 2k \cdot (2k + 1)$. Vì chứa thừa số 2 nên tích này chia hết cho 2.

• Trường hợp b là số lẻ: Ta viết số $b$ dưới dạng $b = 2k + 1$ (với $k$ là số tự nhiên). Khi đó biểu thức tích trở thành: $P = (2k + 1) \cdot (2k + 1 + 1) = (2k + 1) \cdot (2k + 2) = 2 \cdot (2k + 1) \cdot (k + 1)$. Vì tích chứa thừa số 2 nên biểu thức này chia hết cho 2.

Kết luận: Tích của hai số tự nhiên liên tiếp luôn luôn chia hết cho 2.

Bài tập 3: Chứng minh rằng tích của hai số tự nhiên chẵn liên tiếp luôn luôn chia hết cho 8.

Lời giải chi tiết:

Ta gọi công thức tổng quát của hai số tự nhiên chẵn liên tiếp lần lượt là: $2a$ và $2a + 2$ (với điều kiện $a$ là số tự nhiên).

Biểu thức tính tích của hai số chẵn trên là:

$P = 2a \cdot (2a + 2)$

Đặt hằng số 2 ở ngoặc vế sau ra ngoài làm nhân tử chung:

$P = 2a \cdot 2 \cdot (a + 1)$

$P = 4 \cdot a \cdot (a + 1)$

Nhận thấy cụm biểu thức $a \cdot (a + 1)$ chính là tích của hai số tự nhiên liên tiếp. Theo kết quả đã chứng minh ở Bài tập 2, tích $a \cdot (a + 1)$ luôn luôn chia hết cho 2.

Do đó, tích $4 \cdot a \cdot (a + 1)$ sẽ chia hết cho tích $4 \cdot 2 = 8$.

Vậy tích của hai số tự nhiên chẵn liên tiếp luôn luôn chia hết cho 8.

Bài tập 4: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $a$, tích của hai đa thức $(a + 3) \cdot (a + 6)$ luôn chia hết cho 2.

Lời giải chi tiết:

Mọi số tự nhiên $a$ khi xét tính chẵn lẻ đều có thể viết dưới dạng $a = 2k$ hoặc $a = 2k + 1$ (với $k$ là số tự nhiên).

• Trường hợp $a = 2k$ (số chẵn): Thay vào biểu thức ta được:

  $(2k + 3) \cdot (2k + 6) = (2k + 3) \cdot 2 \cdot (k + 3) = 2 \cdot (2k + 3)(k + 3)$.

  Biểu thức chứa thừa số 2 nên chia hết cho 2.

• Trường hợp $a = 2k + 1$ (số lẻ): Thay vào biểu thức ta được:

  $(2k + 1 + 3) \cdot (2k + 1 + 6) = (2k + 4) \cdot (2k + 7) = 2 \cdot (k + 2)(2k + 7)$.

  Biểu thức chứa thừa số 2 nên chia hết cho 2.

Kết luận: Với mọi số tự nhiên $a$ thì tích $(a + 3) \cdot (a + 6)$ luôn chia hết cho 2.