Các bài toán vận dụng tính chất và dấu hiệu chia hết có lời giải - Toán lớp 6

Bài viết này sẽ hệ thống lại một số bài toán vận dụng tính chất và dấu hiệu chia hết cùng lời giải, qua đó giúp các em dễ dàng ghi nhớ và vận dụng khi gặp các bài toán chia hết.

» xem thêm: Các dạng toán lũy thừa với số mũ tự nhiên đầy đủ cực hay

I. Tóm tắt lý tuyết về tính chất và dấu hiệu chia hết

1. Dấu hiệu chia hết cơ bản

a) Dấu hiệu chia hết cho 2

  ⇔ a có chữ số tận cùng bằng 0; 2; 4; 6; 8.

b) Dấu hiệu chia hết cho 5

  ⇔ a có chữ số tận cùng bằng 0; 5.

c) Dấu hiệu chia hết cho 3 (hoặc 9)

 hoặc  ⇔ a có tổng các chữ số của a chia hết cho 3 (hoặc 9).

2. Dấu hiệu chia hết nâng cao

a) Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25)

  hoặc  ⇔ Hai chữ số tận cùng của nó tạo thành một số chia hết cho 4 (hoặc 25).

b) Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc 125)

  hoặc  ⇔ Ba chữ số tận cùng của nó tạo thành một số chia hết cho 8 (hoặc 125).

c) Dấu hiệu chia hết cho 11

 ⇔ Tổng các chữ số hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số hàng chẵn (hoặc ngược lại) chia hết cho 11.

3. Tính chất của chia hết cơ bản.

a) Tính chất chung

- Bất kỳ số nào khác 0 cũng chia hết cho chính nó

- Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c

- Số 0 chia hết cho mọi số b khác 0

- Bất cứ só nào cũng chia hết cho 1

b) Các tính chất khác

- a chia hết cho a với mọi a là số tự nhiên khác 0: , 

- Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho a thì a=b.

- Nếu a và b cùng chia hết cho m thì a+b chia hết cho m; a-b chia hết cho m

- Nếu một trong hai số a và b chia hết cho m, số kia không chia hết cho m thì a+b không chia hết cho m, a-b không chia hết cho m

- Nếu a chia hế cho b và a chia hết cho c mà (b;c)=1 thì a chia hết cho b.c

- Nếu a.b chia hết cho c và (b,c)=1 thì a chia hế cho c

- Nếu a chia hiết cho m thì k.a chia hết cho m với mọi k là số tự nhiên

- Nếu a chia hết cho m và b chia hết cho n thì a.b chia hết cho m.n

- Nếu a.b chia hết cho m và m là số nguyên tốt thì a chia hết cho m hoặc b chia hết cho m

- Nếu a chia hết cho m thì aⁿ chia hết cho m với mọi n là số tự nhiên

- Nếu a chia hết cho b thì aⁿ chia hết cho bⁿ với mọi n là số tự nhiên

4. Tính chất chia hết nâng cao

°  

° a₁ không chia hết cho m còn  thì  không chia hết cho m

° 

°

°   không chia hết cho m ⇒ c không chia hết cho m.

II. Các bài toán vận dụng tính chất và dấu hiệu chia hết

° Dạng 1: Chứng minh số a chia hết cho số b

* Phương pháp:

- Dựa vào các dấu hiệu và tính chất chia hết

♦ Ví dụ 1: Không thực hiện phép tính chứng tỏ rằng

a) 26.2020 chia hết cho 13 

b) 2014.2019 chia hết cho 3

c) 1411.2020 chia hết cho 17

♠ Hướng dẫn

a) Ta có: 26.2020 = 2.13.2020  13 (vì 13  13, theo tính chất)

b) Ta có: 2014.2019 = 2014.3.673  3 (vì 3  3, theo tính chất)

c) Ta có: 1411.2020 = 17.83.2020  17 (vì 17  17, theo tính chất)

♦ Ví dụ 2: Chứng minh rằng (7a)²⁰²⁰ chia hết cho 49 ∀a∈N.

♠ Hướng dẫn

- Ta có: (7a)²⁰²⁰ = 7²⁰²⁰.a²⁰²⁰ = 7².7²⁰¹⁸.a²⁰²⁰ = 49.7²⁰¹⁸.a²⁰²⁰ 

 Vì 49  49 nên  49.7²⁰¹⁸.a²⁰²⁰  49 

⇒(7a)²⁰²⁰ chia hết cho 49 ∀a∈N.

° Dạng 2: Tìm điều kiện để số a chia hết cho số b

* Phương pháp:

- Vận dụng các tính chất và dấu hiệu chia hết

♦ Ví dụ 1: Điền vào * để

a)      b)

♠ Hướng dẫn

a) Vận dụng dấu hiệu chia hết để  ⇔ (6+*+5) = (11+*) phải chia hết cho 3 ⇒ * ∈ {1;4;7}

b) Vận dụng dấu hiệu chia hết để  ⇔ (9+*) phải chia hết cho 9 ⇒ * ∈ {0;9}

♦ Ví dụ 2: Tìm chữ số a, b sao cho  đồng thời chia hết cho 2,3,5 và 9.

♠ Hướng dẫn

- Từ dấu hiệu chia hết ta thấy, 2 và 5  liên quan đến chữ số tận cùng, sau đó ta xét tổng các chữ số phải chia hết cho 9 (vì chia hết cho 9 là chia hết cho 3).

- Ta có:  và 

⇒  chia hết cho 2 và 5 thì b = 0.

- Để  chia hết cho 3 và 9 ⇒ (a + 6 + 3 + 0)  9 ⇒ a ∈ {0;9} ⇒ a = 9.

 (vì số 0 đứng đầu không có nghĩa)

- Kết luận: a=9; b=0 thì  đồng thời chia hết cho 2;3;5;9.

♦ Ví dụ 3: Tìm a để  nhưng không chia hết cho 9.

♠ Hướng dẫn

- Từ dấu hiệu chia hết cho 3 và chia hết cho 9, ta có:

⇒ (a+2+0+2+0) chia hết cho 3

⇒ (a+4) chia hết cho 3

⇒ a = 2

- Kết luận: Với a = 2 thì  mà không chia hết cho 9.

° Dạng 3: Chứng minh một biểu thức chia hết cho một số

* Phương pháp:

- Vận dụng các tính chất tổng chia hết, hiệu chia hết

♦ Ví dụ 1: Chứng minh rằng S = 5 + 5² + 5³ +...+ 5⁹⁹ + 5¹⁰⁰ chia hết cho 6.

♠ Hướng dẫn

- Ta có: S = 5 + 5² + 5³ +...+ 5⁹⁹ + 5¹⁰⁰ = 5(1+5) + 5³(1+5) +...+ 5⁹⁹(1+5) = 6.(5 + 5³ + 5⁵ +...+ 5⁹⁹)

 Vì 6  6 nên S chia hết cho 6 (theo tính chất).

♦ Ví dụ 2: Chứng minh rằng

a) 36 + 81 + 171 chia hết cho 9

b) 135 + 275 + 335 chia hết cho 5

c) 2124 - 204 chia hết cho 4

d) 6433 - 2058 chia hết cho 7

♠ Hướng dẫn

a) Ta có: 36  9; 81  9; 171  9 nên (36 + 81 + 171)  9 (theo tính chất chia hết của một tổng)

b) Ta có: 135  5; 275  5; 335  5 nên (135 + 275 + 335)  5 (theo tính chất chia hết của một tổng)

c) Ta có: 2124  4; 204  4 nên (2124 - 204)  4 (theo tính chất chia hết của một hiệu)

d) Ta có: 6433  7; 2058  7 nên (6433 - 2058)  7 (theo tính chất chia hết của một hiệu)

♦ Ví dụ 3: Chứng minh rằng

a) A = 1 + 3 + 3² +...+ 3¹¹ chia hết cho 40.

b) B = 5 + 5² + 5³ +...+ 5⁸ chia hết cho 30.

♠ Hướng dẫn

a) Ta có: A = 1 + 3 + 3² +...+ 3¹¹ = (1 + 3 + 3² + 3³) + 3⁴(1 + 3 + 3² + 3³) + 3⁸(1 + 3 + 3² + 3³) = (1 + 3 + 3² + 3³)(1 + 3⁴ + 3⁸) = 40.(1 + 3⁴ + 3⁸)

⇒ A chia hết cho 40.

a) Ta có: B = 5 + 5² + 5³ +...+ 5⁸ =  5(1 + 5) + 5²(5+25) + 5⁴(5+25) + 5⁶(5+25) = 30(1 + 5² + 5⁴ +5⁶).

⇒ B chia hết cho 30.

° Dạng 4: Một số dạng bài toán chứng minh khác

* Phương pháp:

- Vận dụng các tính chất và dấu hiệu chia hết.

♦ Ví dụ 1: Chứng minh tổng 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3

♠ Hướng dẫn

- Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a, a+1 và a+2

⇒ Tổng ba số là: a + a + 1 + a + 2 = (a + a + a) + (1 + 2) = (3a + 3)  3 (theo tính chất chia hết của 1 tổng)

♦ Ví dụ 2: Chứng minh tích của 2 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2

♠ Hướng dẫn

- Gọi hai số tự nhiên liên tiếp là: b, b+1

⇒ Tích hai số là: b(b + 1)

- Nếu b chẵn thì b=2k (k∈N) ⇒ 2k(2k+1)  2 (do 2k  2)

- Nếu b lẻ thì b=2k+1 (k∈N) ⇒ (2k+1)(2k+1+1) = (2k+1)(2k+2)  2 (do (2k + 2)  2)

⇒ Tích của 2 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2.

♦ Ví dụ 3: Chứng minh tích của 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8

♠ Hướng dẫn

- Gọi hai số chẵn liên tiếp là: 2a và 2a+2 (a∈N)

- Khi đó ta có: 2a.(2a+2) = 4a.(a+1)

- Ta thấy, a(a+1) là hai số tự nhiên liên tiếp nên theo ví dụ 2 thì a(a+1) chia hết cho 2.

⇒ 4.a.(a+1) chia hết cho 4.2

⇒ 4.a.(a+1) chia hết cho 8.

- Kết luận: 2a.(2a+2) luôn chia hế cho 8, (∀a∈N).