Các dạng toán về luỹ thừa với số mũ tự nhiên - toán lớp 6

Vì vậy trong bài viết này chúng ta cùng tổng hợp các dạng toán về luỹ thừa với số mũ tự nhiên, qua đó giúp các em cảm thấy việc giải các bài tập về luỹ thừa không phải là vấn đề làm khó được chúng ta.

» xem thêm: Cách giải các dạng toán tính tổng lũy thừa có quy luật cực hay

I. Kiến thức cần nhớ về Luỹ thừa

1. Lũy thừa với số mũ tự nhiên

- Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a :

aⁿ = a.a…..a (n thừa số a) (n khác 0)

- Trong đó: a được gọi là cơ số.

n được gọi là số mũ.

2. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số

- Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữa nguyên cơ số và cộng các số mũ.

a^m. aⁿ = a^m+n

3. Chia hai lũy thừa cùng cơ số

- Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số (khác 0), ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ cho nhau.

a^m: aⁿ = a^m-n (a ≠ 0, m ≥ 0)

4. Lũy thừa của lũy thừa.

(a^m)ⁿ = a^m.n

- Ví dụ : (2²)⁴ = 2^2.4 = 2⁸

5. Nhân hai lũy thừa cùng số mũ, khác sơ số.

 a^m . b^m = (a.b)^m

- Ví dụ : 3³ . 2³ = (3.2)³ = 6³

6. Chia hai lũy thừa cùng số mũ, khác cơ số.

 a^m : b^m = (a : b)^m

- Ví dụ : 6⁴ : 3⁴ = (6 : 3)⁴ = 2⁴

7. Một vài quy ước. 

 1ⁿ = 1;  a⁰ = 1

- Ví dụ :  1²⁰¹⁸ = 1 ; 2018⁰ = 1

II. Các dạng toán về luỹ thừa với số mũ tự nhiên

• Dạng 1: Viết gọn 1 tích bằng cách dùng luỹ thừa

* Phương pháp: Áp dụng công thức: aⁿ = a.a…..a 

Bài 1. (Bài 56 trang 27 SGK Toán 6): Viết gọn các tích sau bằng cách dùng lũy thừa :

a) 5.5.5 5.5.5 ;     b) 6.6.6.3.2 ;

c) 2 2.2.3.3 ;        d) 100.10.10.10.

* Lời giải:

a) 5.5.5.5.5.5 = 5⁶

b) 6.6.6.3.2 = 6.6.6.6 = 6⁴ ;

c) 2.2.2.3.3 = 2³.3² ;

d) 100.10.10.10 = 10.10.10.10.10 = 10⁵ .

Bài 2. (Bài 57 trang 28 SGK Toán 6): Tính giá trị các lũy thừa sau :

a) 2³, 2⁴, 2⁵, 2⁶, 2⁷, 2⁸, 2⁹, 2¹⁰ ;

b) 3², 3³, 3⁴, 3⁵;

c) 4², 4³, 4⁴;

d) 5², 5³, 5⁴;

e) 6², 6³, 6⁴.

* Lời giải:

a) 2³ = 2.2.2 = 8 ; 2⁴ = 2³.2 = 8.2 = 16.

- Làm tương tự như trên ta được :

2⁵ = 32 ,  2⁶ = 64 , 2⁷ = 128 , 2⁸ = 256, 2⁹ = 512 ,  2¹⁰ = 1024.

b) 3² = 9, 3³ = 27 ,   3⁴ = 81,      3⁵ = 243 .

c) 4²  = 16,        4³ = 64,       4⁴ = 256 .

d) 5² = 25, 5³ = 125, 5⁴ = 625.

e) 6² = 36, 6³ = 216, 6⁴ = 1296.

Bài 3. (Bài 65 trang 29 SGK Toán 6): Bằng cách tính, em hãy cho biết số nào lớn hơn trong hai số sau?

a) 2³ và 3² ;    b) 2⁴ và 4² ;

c)2⁵ và 5²;     d) 2¹⁰ và 100.

* Lời giải

a) 2³ = 8, 3² = 9 . Vì 8 < 9 nên 2³ < 3² .

b) 2⁴ =16 , 4²=16 nên 2⁴ = 4².

c) 2⁵ = 32 , 5² = 25 nên 2⁵ > 5².

d) 2¹⁰ = 1024 nên 2¹⁰ >100.

Bài 4 : Viết gọn các tích sau dưới dạng lũy thừa.

a) 4 . 4 . 4 . 4 . 4

b) 10 . 10 . 10 . 100

c) 2 . 4 . 8 . 8 . 8 . 8

d) x . x . x . x

• Dạng 2. Viết 1 số dưới dạng luỹ thừa với số mũ lớn hơn 1

* Phương pháp: Vận dụng công thức a.a…..a = aⁿ (n thừa số a) (n khác 0)

Bài 1. (Bài 58b; 59b trang 28 SGK Toán 6)

58b) Viết mỗi số sau thành bình phương của một số tự nhiên : 64 ; 169 ; 196.

59b) Viết mỗi số sau thành lập phương của một số tự nhiên : 27 ; 125 ; 216.

* Lời giải

58b) 64 = 8.8 = 8²;

 169 = 13.13 = 13² ;

 196 = 14.14 = 14².

59b) 27 = 3.3,3 = 3³ ;

 125 = 5.5.5 = 5³ ;

 216 = 6.6.6 = 6³.

Bài 2. (Bài 61 trang 28 SGK Toán 6) Trong các số sau, số nào là lũy thừa của một số  tự nhiên với số mũ lớn hơn 1 (chú ý rằng có những số có nhiều cách viết dưới dạng lũy thừa) : 8, 16, 20, 27, 60, 64, 81, 90, 100.

* Lời giải:

 8 = 2³;   16 = 4² = 2⁴ ;

 27 = 3³ ;   64 = 8² – 2⁶ = 4³;

 81 = 9² = 3⁴;   100 = 10².

• Dạng 3. Nhân 2 luỹ thừa cùng cơ số

* Phương pháp: Vận dụng công thức: a^m. aⁿ = a^m+n

Bài 1. (Bài 60 trang 28 SGK Toán 6): Viết kết quả phép tính sau dưới dạng một lũy thừa :

a) 3³.3⁴ ;     b) 5².5⁷;     c) 7⁵.7.

* Lời giải:

a) 3³.3⁴ = 3³⁺⁴ = 3⁷ ;

b) 5².5⁷ = 5²⁺⁷ = 5⁹ ;

c) 7⁵.7 = 7⁵⁺¹ = 7⁶

Bài 2. (Bài 64 trang 29 SGK Toán 6) Viết kết quả phép tính dưới dạng một lũy thừa :

a) 2³.2².2⁴;

b) 10².10³.10⁵ ;

c) x . x⁵  ;

d)  a³.a².a⁵  ;

* Lời giải:

a) 2³.2².2⁴ = 2³⁺²⁺⁴ = 2⁹ ;

b) 10².10³.10⁵  = 10²⁺³⁺⁵ = 10¹⁰;

c) x.x⁵ = x¹⁺⁵ = x⁶;

d) a³.a².a⁵ = a³⁺²⁺⁵ = 2¹⁰ ;

Bài 3 : Viết các tích sau dưới dạng một lũy thừa.

a) 4⁸ . 2²⁰ ;  9¹² . 27⁵ . 81⁴  ;  64³ . 4⁵ . 16²

b) 25²⁰ . 125⁴ ;  x⁷ . x⁴ . x ³ ; 3⁶ . 4⁶

c) 8⁴ . 2³ . 16² ;  2³ . 2² . 8³ ;    y . y⁷

• Dạng 4: Chia 2 luỹ thừa cùng cơ số

* Phương pháp: Vận dụng công thức: a^m: aⁿ = a^m-n (a ≠ 0, m ≥ 0)

Bài 1 : Viết các kết quả sau dưới dạng một lũy thừa.

a) 125⁵ : 25³ b) 27⁶ : 9³ c) 4²⁰ : 2¹⁵

d) 24ⁿ : 2²ⁿ e) 64⁴ . 16⁵ : 4²⁰ g)32⁴ : 8⁶

Bài 2 : Viết các thương sau dưới dạng một lũy thừa.

a) 4⁹ : 4⁴ ;  17⁸ : 17⁵ ;  2¹⁰ : 8²  ;  18¹⁰ : 3¹⁰ ; 27⁵ : 81³

b) 10⁶ : 100 ;  5⁹ : 25³ ; 4¹⁰ : 64³ ; 2²⁵ : 32⁴ : 18⁴ : 9⁴

•  Dạng 5: Một số dạng toán khác

* Phương pháp: Vận dụng 7 tính chất ở trên biến đổi linh hoạt

Bài 1 : Tính giá trị của các biểu thức sau.

a) a⁴.a⁶

b) (a⁵)⁷

c) (a³)⁴ . a⁹

d) (2³)⁵.(2³)⁴

Bài 2 : Tính giá trị các lũy thừa sau :

a) 2² , 2³ , 2⁴ , 2⁵ , 2⁶ , 2⁷ , 2⁸ , 2⁹ , 2¹⁰.

b) 3² , 3³ , 3⁴ , 3⁵.

c) 4², 4³, 4⁴.

d) 5² , 5³ , 5⁴.

Bài 3 : Viết các tổng sau thành một bình phương.

a) 1³ + 2³

b) 1³ + 2³ + 3³

c) 1³ + 2³ + 3³ + 4³

Bài 4 : Tìm x ∈ N, biết.

a) 3^x . 3 = 243

b) 2^x . 16² = 1024

c) 64.4^x = 16⁸

d) 2^x = 16

Bài 5 : Thực hiện các phép tính sau bằng cách hợp lý.

a. (2¹⁷ + 17²).(9¹⁵ – 3¹⁵).(2⁴ – 4²)

b. (82017 – 82015) : (82104.8)

c. (1³ + 2³ + 3⁴ + 4⁵).(1³ + 2³ + 3³ + 4³).(3⁸ – 81²)

d. (2⁸ + 8³) : (2⁵.2³)

Bài 6: Tìm x, biết.

a) 2^x.4 = 128    b) (2x + 1)³ = 125

c) 2^x – 26 = 6   d) 64.4^x = 4⁵ 

e) 27.3^x = 243  g) 49.7^x = 2401

h) 3^x = 81   k) 3⁴.3^x = 3⁷ 

n) 3^x + 25 = 26.2² + 2.3⁰

* Đáp án:

a) x = 5; b) x = 2; c) x = 5; d) x = 2

e) x = 2; g) x = 2; h) x = 4; k) x = 3; n) x = 4

Bài 7: So sánh

a) 2⁶ và 8² ;     5³ và 3⁵     ; 3² và 2³    ;    2⁶ và 6²

b) A = 2009.2011 và B = 2010²

c) A = 2015.2017 và B = 2016.2016

d) 2017⁰ và 1²⁰¹⁷

Bài 8: Cho A = 1 + 2¹ + 2² + 2³ + … + 2²⁰⁰⁷

a) Tính 2A

b) Chứng minh: A = 2²⁰⁰⁸ – 1

Bài 9: Cho A = 1 + 3 + 3² + 3³ + 3⁴ + 3⁵ + 3⁶ + 3⁷

a) Tính 2A

b) Chứng minh A = (3⁸ – 1) : 2

Bài 10: Cho A = 1 + 3 + 3² + … + 3²⁰⁰⁶

a) Tính 3A

b) Chứng minh : A = (3²⁰⁰⁷ – 1) : 2

Bài 11: Cho A = 1 + 4 + 4² + 4³ + 4⁵ + 4⁶

a) Tính 4A

b) Chứng minh : A = (4⁷ – 1) : 3

Bài 12: Tính tổng

S = 1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2²⁰¹⁷