Luỹ thừa với số mũ tự nhiên và bài tập (Ôn tập Toán 6 đầy đủ)

Bài viết này Hay Học Hỏi sẽ giúp các em hệ thống lại toàn bộ lý thuyết cốt lõi, tổng hợp đầy đủ các công thức nhân chia lũy thừa, đồng thời cung cấp hệ thống bài tập vận dụng phong phú được trình bày chuẩn sư phạm, không lạm dụng các ký hiệu logic phức tạp.

I. Lý Thuyết Trọng Tâm Cần Nhớ

1. Định nghĩa lũy thừa với số mũ tự nhiên

Lũy thừa bậc $n$ của một số tự nhiên $a$ là tích của $n$ thừa số bằng nhau, trong đó mỗi thừa số đều bằng $a$:

Trong ký hiệu lũy thừa:

• $a$ được gọi là cơ số.

• $n$ được gọi là số mũ.

2. Phép toán nhân hai lũy thừa cùng cơ số

Khi nhân hai lũy thừa có cùng cơ số, ta thực hiện giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ lại với nhau:

3. Phép toán chia hai lũy thừa cùng cơ số

Khi chia hai lũy thừa có cùng cơ số (với điều kiện cơ số phải khác 0), ta thực hiện giữ nguyên cơ số và lấy số mũ của số bị chia trừ đi số mũ của số chia:

4. Công thức lũy thừa của lũy thừa

Khi tính lũy thừa của một lũy thừa, ta giữ nguyên cơ số và thực hiện nhân các số mũ với nhau:

• Ví dụ: $(3^2)^4 = 3^{2 \cdot 4} = 3^8$

5. Nhân hai lũy thừa cùng số mũ, khác cơ số

Muốn nhân hai lũy thừa có cùng số mũ nhưng khác cơ số, ta thực hiện nhân hai cơ số với nhau và giữ nguyên số mũ:

• Ví dụ: $3^3 \cdot 4^3 = (3 \cdot 4)^3 = 12^3$

6. Chia hai lũy thừa cùng số mũ, khác cơ số

Muốn chia hai lũy thừa có cùng số mũ nhưng khác cơ số, ta thực hiện chia cơ số bị chia cho cơ số chia và giữ nguyên số mũ:

• Ví dụ: $8^4 : 4^4 = (8 : 4)^4 = 2^4$

7. Một số quy ước toán học quan trọng

• Lũy thừa của cơ số 1 với số mũ bất kỳ luôn bằng 1:

  $$1^n = 1 \quad (\text{Ví dụ: } 1^{2026} = 1)$$

• Quy ước lũy thừa với số mũ 0 của một số khác 0 luôn bằng 1:

  $$a^0 = 1 \quad (\text{với } a \neq 0, \text{ Ví dụ: } 2026^0 = 1)$$

II. Các Dạng Bài Tập Minh Họa Có Hướng Dẫn Giải

Bài 1: Thực hiện các phép tính và thu gọn biểu thức

Thực hiện phép tính bằng cách biến đổi đưa về cùng cơ số hoặc cùng số mũ:

a) $3^7 \cdot 27^5 \cdot 81^3$

b) $100^6 \cdot 1000^5 \cdot 10000^3$

c) $36^5 : 18^5$

d) $24 \cdot 5^5 + 5^2 \cdot 5^3$

e) $125^4 : 5^8$

f) $81 \cdot (27 + 9^{15}) : (3^5 + 3^{32})$

Lời giải chi tiết:

a) $3^7 \cdot 27^5 \cdot 81^3$

Đưa các cơ số về dạng lũy thừa của cơ số 3:

$3^7 \cdot (3^3)^5 \cdot (3^4)^3$

$= 3^7 \cdot 3^{15} \cdot 3^{12}$

$= 3^{7 + 15 + 12}$

$= 3^{34}$

b) $100^6 \cdot 1000^5 \cdot 10000^3$

Đưa các cơ số về dạng lũy thừa của cơ số 10:

$(10^2)^6 \cdot (10^3)^5 \cdot (10^4)^3$

$= 10^{12} \cdot 10^{15} \cdot 10^{12}$

$= 10^{12 + 15 + 12}$

$= 10^{39}$

c) $36^5 : 18^5$

Áp dụng quy tắc chia hai lũy thừa cùng số mũ:

$(36 : 18)^5$

$= 2^5$

$= 32$

d) $24 \cdot 5^5 + 5^2 \cdot 5^3$

Thu gọn phép nhân lũy thừa ở số hạng thứ hai:

$24 \cdot 5^5 + 5^5$

Đặt thừa số chung $5^5$ ra ngoài dấu ngoặc:

$5^5 \cdot (24 + 1)$

$= 5^5 \cdot 25$

$= 5^5 \cdot 5^2$

$= 5^7$

e) $125^4 : 5^8$

Đưa cơ số 125 về lũy thừa của 5:

$(5^3)^4 : 5^8$

$= 5^{12} : 5^8$

$= 5^{12 - 8}$

$= 5^4$

$= 625$

f) $81 \cdot (27 + 9^{15}) : (3^5 + 3^{32})$

Biến đổi toàn bộ biểu thức sang cơ số 3:

$3^4 \cdot (3^3 + (3^2)^{15}) : (3^5 + 3^{32})$

$= 3^4 \cdot (3^3 + 3^{30}) : (3^5 + 3^{32})$

Đặt thừa số chung $3^3$ bên trong ngoặc thứ nhất:

$3^4 \cdot 3^3 \cdot (1 + 3^{27}) : (3^5 + 3^{32})$

$= 3^7 \cdot (1 + 3^{27}) : (3^5 + 3^{32})$

Đặt thừa số chung $3^5$ ở cụm đa thức chia vế sau:

$3^7 \cdot (1 + 3^{27}) : [3^5 \cdot (1 + 3^{27})]$

Thực hiện rút gọn cụm $(1 + 3^{27})$ giống nhau:

$= 3^7 : 3^5$

$= 3^2$

$= 9$

Bài 2: Thu gọn các biểu thức tổng dãy số lũy thừa

Thực hiện thu gọn các chuỗi tổng lũy thừa cách đều bằng cách nhân thêm cơ số:

a) $A = 2 + 2^2 + 2^2 + \dots + 2^{2017}$

b) $B = 1 + 3^2 + 3^4 + \dots + 3^{2018}$

c) $C = -5 + 5^2 - 5^3 + 5^4 - \dots - 5^{2017} + 5^{2018}$

Lời giải chi tiết:

a) Ta có chuỗi tổng cơ số 2:

$A = 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{2017}$

Nhân cả hai vế của biểu thức với hằng số cơ số 2:

$2A = 2 \cdot (2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{2017})$

$2A = 2^2 + 2^3 + 2^4 + \dots + 2^{2018}$

Lấy vế của biểu thức $2A$ trừ đi vế của biểu thức $A$:

$2A - A = (2^2 + 2^3 + 2^4 + \dots + 2^{2018}) - (2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{2017})$

$A = 2^{2018} - 2$

Vậy tổng thu gọn thu được là $A = 2^{2018} - 2$.

b) Ta có chuỗi tổng cơ số tăng theo bậc chẵn:

$B = 1 + 3^2 + 3^4 + \dots + 3^{2018}$

Nhân cả hai vế của biểu thức với bình phương cơ số là $3^2$ (tức là 9):

$9B = 3^2 \cdot (1 + 3^2 + 3^4 + \dots + 3^{2018})$

$9B = 3^2 + 3^4 + 3^6 + \dots + 3^{2020}$

Lấy vế của biểu thức $9B$ trừ đi vế của biểu thức $B$:

$9B - B = (3^2 + 3^4 + 3^6 + \dots + 3^{2020}) - (1 + 3^2 + 3^4 + \dots + 3^{2018})$

$8B = 3^{2020} - 1$

$B = (3^{2020} - 1) : 8$

c) Ta có chuỗi tổng đan dấu:

$C = -5 + 5^2 - 5^3 + 5^4 - \dots - 5^{2017} + 5^{2018}$

Nhân cả hai vế của biểu thức với hằng số cơ số 5:

$5C = 5 \cdot (-5 + 5^2 - 5^3 + 5^4 - \dots - 5^{2017} + 5^{2018})$

$5C = -5^2 + 5^3 - 5^4 + 5^5 - \dots - 5^{2018} + 5^{2019}$

Thực hiện phép tính cộng vế theo vế của hai biểu thức $5C$ và $C$:

$5C + C = (-5^2 + 5^3 - \dots + 5^{2019}) + (-5 + 5^2 - \dots + 5^{2018})$

$6C = 5^{2019} - 5$

$C = (5^{2019} - 5) : 6$

Bài tập 3: So sánh các biểu thức lũy thừa

Đối với dạng toán so sánh trong lũy thừa, phương pháp cốt lõi là chúng ta cần biến đổi các số hạng về cùng một cơ số để so sánh số mũ, hoặc đưa về cùng một số mũ để so sánh phần cơ số lớn nhỏ.

• a) So sánh $5^{36}$ và $11^{24}$ Ta chọn số mũ chung là 12 để biến đổi các lũy thừa:

  $5^{36} = (5^3)^{12} = 125^{12}$

  $11^{24} = (11^2)^{12} = 121^{12}$

  Vì cơ số 125 lớn hơn 121 nên $125^{12}$ lớn hơn $121^{12}$.

  Do đó, ta có kết quả: $5^{36} > 11^{24}$.

• b) So sánh $3^{2n}$ và $2^{3n}$ (với $n$ thuộc tập hợp số tự nhiên khác 0) Ta thực hiện khai triển phần cơ số chứa lũy thừa:

  $3^{2n} = (3^2)^n = 9^n$

  $2^{3n} = (2^3)^n = 8^n$

  Vì cơ số 9 lớn hơn 8 nên với mọi số mũ tự nhiên khác 0, $9^n$ luôn lớn hơn $8^n$.

  Do đó, ta có kết quả: $3^{2n} > 2^{3n}$.

• c) So sánh $5^{23}$ và $6 \cdot 5^{22}$ Ta tách nhỏ số mũ của số hạng thứ nhất để tạo thành biểu thức đồng dạng:

  $5^{23} = 5^1 \cdot 5^{22} = 5 \cdot 5^{22}$

  Vì hệ số số học 5 nhỏ hơn 6 nên ta có mối quan hệ: $5 \cdot 5^{22} < 6 \cdot 5^{22}$.

  Do đó, ta có kết quả: $5^{23} < 6 \cdot 5^{22}$.

• d) So sánh $2^{13}$ và $2^{16}$ Đây là hai lũy thừa có cùng cơ số là 2. Trong trường hợp cùng cơ số dương lớn hơn 1, lũy thừa nào có số mũ lớn hơn thì sẽ lớn hơn.

  Vì số mũ 13 nhỏ hơn 16 nên ta có mối quan hệ: $2^{13} < 2^{16}$.

• e) So sánh $21^{15}$ và $27^5 \cdot 49^8$ Ta thực hiện phân tích số hạng thứ nhất theo tích các thừa số nguyên tố:

  $21^{15} = (3 \cdot 7)^{15} = 3^{15} \cdot 7^{15}$

  Tiến hành đưa các số hạng của tích thứ hai về lũy thừa cơ số 3 và cơ số 7:

  $27^5 \cdot 49^8 = (3^3)^5 \cdot (7^2)^8 = 3^{15} \cdot 7^{16}$

  Tách nhỏ số mũ của phần cơ số 7 để dễ so sánh:

  $3^{15} \cdot 7^{16} = 7 \cdot 3^{15} \cdot 7^{15}$

  Vì vế sau được nhân thêm với hệ số 7 nên biểu thức $7 \cdot 3^{15} \cdot 7^{15}$ lớn hơn $3^{15} \cdot 7^{15}$.

  Do đó, ta có kết quả: $27^5 \cdot 49^8 > 21^{15}$.

• f) So sánh hai hiệu biểu thức: $72^{45} - 72^{44}$ và $72^{44} - 72^{43}$ Ta thực hiện đặt thừa số chung cho cụm hiệu thứ nhất:

  $72^{45} - 72^{44} = 72^{44} \cdot (72 - 1) = 72^{44} \cdot 71$

  Tiếp tục đặt thừa số chung cho cụm hiệu thứ hai:

  $72^{44} - 72^{43} = 72^{43} \cdot (72 - 1) = 72^{43} \cdot 71$

  Vì hai biểu thức tích đều chứa hằng số 71, mà số mũ lũy thừa cơ số $72^{44}$ lớn hơn $72^{43}$ nên ta có tích $72^{44} \cdot 71$ lớn hơn $72^{43} \cdot 71$.

  Do đó, ta thu được kết quả: $72^{45} - 72^{44} > 72^{44} - 72^{43}$.

Bài tập 4: Tìm số tự nhiên $x$ chứa trong lũy thừa

• a) Tìm số tự nhiên lẻ $x$ biết: $1 + 3 + 5 + \dots + x = 1600$ Đây là chuỗi tổng của các số tự nhiên lẻ liên tiếp bắt đầu từ số 1.

  Công thức tính số các số hạng của dãy số cách đều này là: $(x - 1) : 2 + 1$.

  Công thức tính tổng của dãy số là: $[(x + 1) \cdot \text{Số các số hạng}] : 2$.

  Theo quy luật toán học, tổng của $n$ số tự nhiên lẻ liên tiếp bắt đầu từ số 1 luôn luôn bằng bình phương của số các số hạng ($n^2$).

  Do đó, ta có phương trình:

  $\text{Số các số hạng}^2 = 1600$

  $\text{Số các số hạng}^2 = 40^2$

  Suy ra số các số hạng của chuỗi tổng này bằng 40.

  Ta thực hiện tìm ẩn số $x$ từ công thức số số hạng:

  $(x - 1) : 2 + 1 = 40$

  $(x - 1) : 2 = 40 - 1$

  $(x - 1) : 2 = 39$

  $x - 1 = 39 \cdot 2$

  $x - 1 = 78$

  $x = 78 + 1$

  $x = 79$

  Giá trị tìm được là $x = 79$ hoàn toàn thỏa mãn điều kiện là số tự nhiên lẻ.

• b) Tìm số tự nhiên $x$ biết: $2^x + 2^{x + 3} = 144$ Ta áp dụng quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số để phân tách phần số mũ:

  $2^x + 2^x \cdot 2^3 = 144$

  $2^x \cdot 1 + 2^x \cdot 8 = 144$

  Đặt thừa số chung chứa ẩn $2^x$ ra ngoài dấu ngoặc:

  $2^x \cdot (1 + 8) = 144$

  $2^x \cdot 9 = 144$

  $2^x = 144 : 9$

  $2^x = 16$

  Đưa hằng số vế phải về dạng lũy thừa của cơ số 2:

  $2^x = 2^4$

  Vì hai vế có cùng cơ số nên hai số mũ phải bằng nhau, ta tìm được: $x = 4$.

• c) Tìm số tự nhiên $x$ biết: $(x - 5)^{2016} = (x - 5)^{2018}$ Ta thực hiện chuyển các hạng tử chứa biến về cùng một vế:

  $(x - 5)^{2018} - (x - 5)^{2016} = 0$

  Đặt thừa số chung có số mũ nhỏ hơn ra ngoài dấu ngoặc:

  $(x - 5)^{2016} \cdot [(x - 5)^2 - 1] = 0$

  Điều này dẫn đến hai trường hợp độc lập xảy ra:

  Trường hợp 1: Biểu thức tích thứ nhất bằng 0

  $(x - 5)^{2016} = 0$

  $x - 5 = 0$

  $x = 5$

  Trường hợp 2: Biểu thức tích thứ hai bằng 0

  $(x - 5)^2 - 1 = 0$

  $(x - 5)^2 = 1$

  Vì $x$ là số tự nhiên nên biểu thức cơ số $(x - 5)$ có thể nhận hai giá trị đối nhau là 1 hoặc -1:

  Khả năng thứ nhất: $x - 5 = 1$ suy ra $x = 6$.

  Khả năng thứ hai: $x - 5 = -1$ suy ra $x = 4$.

  Kết luận: Tập hợp các giá trị số tự nhiên $x$ thỏa mãn là $x \in \{4; 5; 6\}$.

• d) Tìm số tự nhiên $x$ biết: $(2x + 1)^3 = 9 \cdot 81$ Ta thực hiện thu gọn phép tính nhân ở vế phải bằng cách đưa về cơ số 3:

  $(2x + 1)^3 = 3^2 \cdot 3^4$

  $(2x + 1)^3 = 3^{2 + 4}$

  $(2x + 1)^3 = 3^6$

  Biến đổi lũy thừa vế phải để đưa về cùng số mũ 3 với vế trái:

  $(2x + 1)^3 = (3^2)^3$

  $(2x + 1)^3 = 9^3$

  Vì hai vế có cùng số mũ lẻ nên phần cơ số của chúng phải bằng nhau:

  $2x + 1 = 9$

  $2x = 9 - 1$

  $2x = 8$

  $x = 8 : 2$

  $x = 4$

  Vậy giá trị số tự nhiên cần tìm là $x = 4$.

Bài tập 5: Tìm tập hợp các số tự nhiên $x$ thỏa mãn khoảng chặn

Tìm tập hợp các số tự nhiên $x$, biết rằng lũy thừa $5^{2x - 1}$ thỏa mãn điều kiện: $100 < 5^{2x - 1} < 5^6$

Lời giải chi tiết:

Ta tiến hành phân tích kẹp hằng số vế trái là 100 ở giữa hai giá trị lũy thừa liên tiếp của cơ số 5:

Ta biết $5^2 = 25$ và $5^3 = 125$. Do số 100 nằm giữa 25 và 125 nên ta có mối quan hệ: $5^2 < 100 < 5^3$.

Biểu thức khoảng chặn đề bài cho được viết lại dưới dạng đồng nhất cơ số như sau:

$5^2 < 5^{2x - 1} < 5^6$

Do tất cả các cơ số đều bằng 5 nên ta hạ phần số mũ xuống dòng để so sánh khoảng chặn:

$2 < 2x - 1 < 6$

Thực hiện cộng thêm 1 vào tất cả các vế để thu gọn biểu thức chứa ẩn:

$2 + 1 < 2x < 6 + 1$

$3 < 2x < 7$

Thực hiện chia tất cả các vế cho hằng số 2, ta được khoảng chặn của ẩn là:

$1,5 < x < 3,5$

Vì bài toán yêu cầu tìm giá trị $x$ thuộc tập hợp các số tự nhiên nên các số nằm trong khoảng từ 1,5 đến 3,5 thỏa mãn là các số 2 và số 3.

Kết luận: Tập hợp các số tự nhiên cần tìm là $x \in \{2; 3\}$.

III. Hệ Thống Bài Tập Về Lũy Thừa Có hướng dẫn Các Em Tự Giải

Bài tập 1: Viết gọn các tích sau dưới dạng lũy thừa

• a) Phép tính tích gồm năm thừa số 4 nhân với nhau: $4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4$.

  Đáp số câu a: Viết gọn thành $4^5$.

• b) Phép tính tích: $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 100$.

  Đáp số câu b: Đưa hằng số 100 về dạng $10^2$, ta được tích năm thừa số 10 và viết gọn thành $10^5$.

• c) Phép tính tích: $2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8$.

  Đáp số câu c: Đưa các số về lũy thừa cơ số 2, ta được $2^1 \cdot 2^2 \cdot 2^3 \cdot 2^3 \cdot 2^3 \cdot 2^3$. Thực hiện cộng các số mũ, kết quả thu được là $2^{15}$.

• d) Phép tính tích gồm bốn biến chữ $x$ nhân với nhau: $x \cdot x \cdot x \cdot x$.

  Đáp số câu d: Viết gọn thành $x^4$.

Bài tập 2: Tính giá trị thu gọn của các biểu thức tích lũy thừa

• a) Thực hiện phép nhân hai lũy thừa cùng cơ số: $a^4 \cdot a^6$.

  Đáp số câu a: Giữ nguyên cơ số và cộng số mũ, ta được $a^{10}$.

• b) Thực hiện tính lũy thừa của một lũy thừa: $(a^5)^7$.

  Đáp số câu b: Giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ, ta được $a^{35}$.

• c) Thu gọn biểu thức tích: $(a^3)^4 \cdot a^9$.

  Đáp số câu c: Biến đổi hạng tử đầu thành $a^{12}$ rồi nhân với $a^9$, kết quả thu được là $a^{21}$.

• d) Thu gọn biểu thức tích: $(2^3)^5 \cdot (2^3)^4$.

  Đáp số câu d: Biến đổi đưa về phép nhân hai lũy thừa cùng cơ số là $2^3$, ta được $(2^3)^9$. Thực hiện nhân số mũ, kết quả cuối cùng bằng $2^{27}$.

Bài tập 3: Viết các tích sau đây dưới dạng một lũy thừa duy nhất

• a) Thu gọn chuỗi tích phân tách: $4^8 \cdot 2^{20}$ và $9^{12} \cdot 27^5 \cdot 81^4$ và $64^3 \cdot 4^5 \cdot 16^2$.

  Đáp số câu a: Biểu thức thứ nhất biến đổi về cơ số 2 ta được $2^{16} \cdot 2^{20}$, kết quả bằng $2^{36}$ (hoặc viết dưới dạng $4^{18}$). Biểu thức thứ hai biến đổi về cơ số 3 ta được $3^{24} \cdot 3^{15} \cdot 3^{16}$, kết quả bằng $3^{55}$. Biểu thức thứ ba biến đổi về cơ số 4 ta được $4^9 \cdot 4^5 \cdot 4^4$, kết quả bằng $4^{18}$.

• b) Thu gọn chuỗi tích: $25^{20} \cdot 125^4$ và $x^7 \cdot x^4 \cdot x^3$ và $3^6 \cdot 4^6$.

  Đáp số câu b: Tích thứ nhất đưa về cơ số 5 ta được $5^{40} \cdot 5^{12}$, kết quả bằng $5^{52}$. Tích thứ hai cộng các số mũ của biến chữ ta được $x^{14}$. Tích thứ ba áp dụng quy tắc nhân cùng số mũ ta được $(3 \cdot 4)^6$, kết quả bằng $12^6$.

• c) Thu gọn chuỗi tích: $8^4 \cdot 2^3 \cdot 16^2$ và $2^3 \cdot 2^2 \cdot 8^3$ và $y \cdot y^7$.

  Đáp số câu c: Tích thứ nhất đưa về cơ số 2 ta được $2^{12} \cdot 2^3 \cdot 2^8$, kết quả bằng $2^{23}$. Tích thứ hai đưa về cơ số 2 ta được $2^3 \cdot 2^2 \cdot 2^9$, kết quả bằng $2^{14}$. Tích thứ ba thu được kết quả bằng $y^8$.

Bài tập 4: Hãy tính giá trị số học cụ thể của các lũy thừa căn bản

• a) Tính giá trị các lũy thừa của cơ số 2 từ mũ 2 đến mũ 10.

  Đáp số câu a: Kết quả lần lượt tính được là: $2^2 = 4$; \ $2^3 = 8$; \ $2^4 = 16$; \ $2^5 = 32$; \ $2^6 = 64$; \ $2^7 = 128$; \ $2^8 = 256$; \ $2^9 = 512$ và $2^{10} = 1024$.

• b) Tính giá trị các lũy thừa của cơ số 3 từ mũ 2 đến mũ 5.

  Đáp số câu b: Kết quả lần lượt tính được là: $3^2 = 9$; \ $3^3 = 27$; \ $3^4 = 81$ và $3^5 = 243$.

• c) Tính giá trị các lũy thừa của cơ số 4 từ mũ 2 đến mũ 4.

  Đáp số câu c: Kết quả lần lượt tính được là: $4^2 = 16$; \ $4^3 = 64$ và $4^4 = 256$.

• d) Tính giá trị các lũy thừa của cơ số 5 từ mũ 2 đến mũ 4.

  Đáp số câu d: Kết quả lần lượt tính được là: $5^2 = 25$; \ $5^3 = 125$ và $5^4 = 625$.

Bài tập 5: Viết các kết quả phép tính chia sau dưới dạng một lũy thừa

• a) Thực hiện phép chia các lũy thừa cơ bản: $4^9 : 4^4$ và $17^8 : 17^5$ và $2^{10} : 8^2$ và $18^{10} : 3^{10}$ và $27^5 : 81^3$.

  Đáp số câu a: Kết quả thu gọn bằng cách trừ các số mũ tương ứng lần lượt là: $4^5$; \ $17^3$; \ Biểu thức thứ ba đưa về cơ số 2 thành $2^{10} : 2^6$, kết quả bằng $2^4$; \ Biểu thức thứ tư chia hai cơ số cùng số mũ thành $(18:3)^{10}$, kết quả bằng $6^{10}$; \ Biểu thức thứ năm đưa về cơ số 3 thành $3^{15} : 3^{12}$, kết quả bằng $3^3$.

• b) Thực hiện phép chia: $10^6 : 100$ và $5^9 : 25^3$ và $4^{10} : 64^3$ và $2^{25} : 32^4$ và $18^4 : 9^4$.

  Đáp số câu b: Kết quả tính toán đưa về cùng cơ số để thu gọn lần lượt là: $10^4$; \ $5^3$; \ $4^1 = 4$; \ Biểu thức thứ tư đưa về cơ số 2 thành $2^{25} : 2^{20}$, kết quả bằng $2^5$; \ Biểu thức thứ năm chia hai cơ số cùng số mũ thành $(18:9)^4$, kết quả bằng $2^4$.

Bài tập 6: Viết các tổng lũy thừa bậc ba sau thành một bình phương

• a) Thu gọn tổng hai lập phương: $1^3 + 2^3$.

  Đáp số câu a: Giá trị tổng bằng $1 + 8 = 9$, viết dưới dạng bình phương bằng $3^2$.

• b) Thu gọn tổng ba lập phương: $1^3 + 2^3 + 3^3$.

  Đáp số câu b: Giá trị tổng bằng $1 + 8 + 27 = 36$, viết dưới dạng bình phương bằng $6^2$.

• c) Thu gọn tổng bốn lập phương: $1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3$.

  Đáp số câu c: Giá trị tổng bằng $1 + 8 + 27 + 64 = 100$, viết dưới dạng bình phương bằng $10^2$.

Bài tập 7: Tìm số tự nhiên $x$ từ các phương trình lũy thừa cơ bản

• a) Tìm $x$ biết: $3^x \cdot 3 = 243$.

  Đáp số câu a: Thu gọn vế trái thành $3^{x + 1}$, vế phải biến đổi thành $3^5$. Ta có phép tính số mũ $x + 1 = 5$, kết quả tìm được là $x = 4$.

• b) Tìm $x$ biết: $2^x \cdot 16^2 = 1024$.

  Đáp số câu b: Biến đổi đưa phương trình về cơ số 2 thành $2^x \cdot 2^8 = 2^{10}$. Ta có phép tính số mũ $x + 8 = 10$, kết quả tìm được là $x = 2$.

• c) Tìm $x$ biết: $64 \cdot 4^x = 16^8$.

  Đáp số câu c: Biến đổi đưa phương trình về cơ số 4 thành $4^3 \cdot 4^x = 4^{16}$. Ta có phép tính số mũ $3 + x = 16$, kết quả tìm được là $x = 13$.

• d) Tìm $x$ biết: $2^x = 16$.

  Đáp số câu d: Biến đổi vế phải thành $2^4$, ta tìm được ngay kết quả là $x = 4$.

Bài tập 8: Thực hiện các phép tính sau bằng phương pháp tính hợp lý

• a) Tính giá trị biểu thức $A = (2^{17} + 17^2) \cdot (9^{15} - 3^{15}) \cdot (2^4 - 4^2)$.

  Đáp số câu a: Nhận thấy ở hạng tử tích cuối cùng có phép tính $2^4 - 4^2 = 16 - 16 = 0$. Vì một số bất kỳ nhân với số 0 đều bằng 0 nên giá trị biểu thức $A = 0$.

• b) Tính giá trị biểu thức $B = (8^{2017} - 8^{2015}) : 8^{2015}$.

  Đáp số câu b: Ta thực hiện đặt thừa số chung ở đa thức bị chia thành $8^{2015} \cdot (8^2 - 1)$. Khi đem chia cho $8^{2015}$, ta triệt tiêu đại lượng giống nhau và còn lại phép tính $8^2 - 1 = 64 - 1 = 63$. Kết quả biểu thức $B = 63$.

• c) Tính giá trị biểu thức $C = (1^3 + 2^3 + 3^4 + 4^5) \cdot (1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3) \cdot (3^8 - 81^2)$.

  Đáp số câu c: Nhận thấy ở số hạng tích cuối cùng có phép tính biến đổi lũy thừa $3^8 - 81^2 = 3^8 - (3^4)^2 = 3^8 - 3^8 = 0$. Do đó, kết quả tổng thể của biểu thức $C = 0$.

• d) Tính giá trị biểu thức $D = (2^8 + 8^3) : (2^5 \cdot 2^3)$.

  Đáp số câu d: Thu gọn số chia vế sau thành $2^{5 + 3} = 2^8$. Biến đổi đa thức bị chia vế trước về cùng cơ số 2 thành $2^8 + (2^3)^3 = 2^8 + 2^9$. Đặt thừa số chung ta được $2^8 \cdot (1 + 2) = 2^8 \cdot 3$. Khi thực hiện phép chia cho $2^8$, kết quả cuối cùng thu được là $D = 3$.

Bài tập 9: Viết các kết quả sau dưới dạng một lũy thừa duy nhất

• Câu a: Phép tính chia $125^5 : 25^3$. Biến đổi đưa về cơ số 5 thành $(5^3)^5 : (5^2)^3 = 5^{15} : 5^6$, kết quả thu gọn bằng $5^9$.

• Câu b: Phép tính chia $27^6 : 9^3$. Biến đổi đưa về cơ số 3 thành $(3^3)^6 : (3^2)^3 = 3^{18} : 3^6$, kết quả thu gọn bằng $3^{12}$.

• Câu c: Phép tính chia $4^{20} : 2^{15}$. Biến đổi đưa về cơ số 2 thành $(2^2)^{20} : 2^{15} = 2^{40} : 2^{15}$, kết quả thu gọn bằng $2^{25}$.

• Câu d: Phép tính chia hai lũy thừa chứa ẩn số ở số mũ $2^{4n} : 2^{2n}$. Thực hiện trừ hai số mũ cho nhau, kết quả thu được là $2^{2n}$.

• Câu e: Phép tính tổng hợp $64^4 \cdot 16^5 : 4^{20}$. Biến đổi đưa về cơ số 4 thành $(4^3)^4 \cdot (4^2)^5 : 4^{20} = 4^{12} \cdot 4^{10} : 4^{20} = 4^{22} : 4^{20}$, kết quả thu gọn bằng $4^2$.

• Câu g: Phép tính chia $32^4 : 8^6$. Biến đổi đưa về cơ số 2 thành $(2^5)^4 : (2^3)^6 = 2^{20} : 2^{18}$, kết quả thu gọn bằng $2^2$.

Bài tập 10: Tìm số tự nhiên $x$

• Câu a: Tìm $x$ biết $2^x \cdot 4 = 128$.

  Lời giải hữu ích từ một người bạn đồng hành: Trong nội dung tài liệu gốc của câu này có xảy ra một sự nhầm lẫn nhỏ về mặt số học khi ghi đáp số bằng 4. Chúng mình cùng sửa lại cho chuẩn chỉnh nhé:

  Ta biến đổi phương trình đưa về cùng cơ số 2 như sau:

  $2^x \cdot 2^2 = 2^7$

  $2^{x + 2} = 2^7$

  Ta hạ phần số mũ xuống để tính toán:

  $x + 2 = 7$

  $x = 7 - 2$

  $x = 5$

  Vậy giá trị chính xác cần tìm phải là $x = 5$.

• Câu b: Tìm $x$ biết $(2x + 1)^3 = 125$.

  Đáp số câu b: Đưa vế phải về lũy thừa bậc ba thành $(2x + 1)^3 = 5^3$. Suy ra phần cơ số bằng nhau $2x + 1 = 5$, tính toán tìm được kết quả là $x = 2$.

• Câu c: Tìm $x$ biết $2^x - 26 = 6$.

  Đáp số câu c: Thực hiện chuyển vế hằng số ta được $2^x = 6 + 26 = 32$. Đưa về cùng cơ số thành $2^x = 2^5$, kết quả tìm được là $x = 5$.

Bài tập 11: So sánh các cặp biểu thức số học

• Câu a: So sánh các cặp số cơ bản:

  Cặp thứ nhất $2^6$ và $8^2$: Ta có $2^6 = 64$ và $8^2 = 64$, do đó hai giá trị bằng nhau.

  Cặp thứ hai $5^3$ và $3^5$: Ta có $5^3 = 125$ và $3^5 = 243$, do đó $5^3 < 3^5$.

  Cặp thứ ba $3^2$ và $2^3$: Ta có $3^2 = 9$ và $2^3 = 8$, do đó $3^2 > 2^3$.

  Cặp thứ tư $2^6$ và $6^2$: Ta có $2^6 = 64$ và $6^2 = 36$, do đó $2^6 > 6^2$.

• Câu b: So sánh $A = 2009 \cdot 2011$ và $B = 2010^2$.

  Sử dụng phương pháp tách số hạng trung gian cho biểu thức $A$:

  $A = (2010 - 1) \cdot (2010 + 1) = 2010^2 - 1$.

  Vì $2010^2 - 1$ nhỏ hơn $2010^2$ nên ta kết luận $A < B$.

• Câu c: So sánh $A = 2015 \cdot 2017$ và $B = 2016 \cdot 2016$.

  Tương tự phương pháp giải ở câu b, ta tách số hạng cho biểu thức $A$:

  $A = (2016 - 1) \cdot (2016 + 1) = 2016^2 - 1$.

  Vì vế trái bị hụt đi 1 đơn vị nên ta kết luận $A < B$.

• Câu d: So sánh $2017^0$ và $1^{2017}$.

  Áp dụng đúng các quy ước toán học về lũy thừa đặc biệt, ta có $2017^0 = 1$ và $1^{2017} = 1$. Do đó, hai biểu thức này có giá trị bằng nhau.

Bài toán 12: Cho biểu thức tổng lũy thừa cơ số 2 liên tiếp:

• a) Tính giá trị của biểu thức $2A$ Ta thực hiện nhân thêm hằng số cơ số 2 vào cả hai vế của biểu thức $A$:

  $2A = 2 \cdot (1 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{2007})$

  Khi nhân phân phối số 2 vào từng số hạng, số mũ của mỗi lũy thừa sẽ được tăng lên 1 đơn vị:

  $2A = 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + \dots + 2^{2008}$

• b) Chứng minh đẳng thức: $A = 2^{2008} - 1$ Ta thực hiện phép tính trừ vế theo vế giữa biểu thức $2A$ và biểu thức $A$ ban đầu:

  $2A - A = (2^1 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{2008}) - (1 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{2007})$

  Khi phá ngoặc để thực hiện phép tính hiệu, tất cả các hạng tử giống nhau từ $2^1$ đến $2^{2007}$ ở cả hai nhóm sẽ triệt tiêu lẫn nhau hoàn toàn. Biểu thức thu gọn chỉ còn lại số hạng có số mũ cao nhất ở vế trước trừ đi số hạng đầu tiên ở vế sau:

  $A = 2^{2008} - 1$

  Đây chính là điều phải chứng minh.

Bài toán 13: Cho biểu thức tổng lũy thừa cơ số 3 giới hạn:

• a) Tính giá trị của biểu thức $3A$ Ta thực hiện nhân thêm hằng số cơ số 3 vào cả hai vế của biểu thức $A$:

  $3A = 3 \cdot (1 + 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5 + 3^6 + 3^7)$

  Thực hiện nhân phân phối để nâng số mũ của các số hạng lên 1 bậc:

  $3A = 3^1 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5 + 3^6 + 3^7 + 3^8$

• b) Chứng minh đẳng thức: $A = (3^8 - 1) : 2$ Ta thực hiện phép tính trừ vế theo vế giữa biểu thức $3A$ và biểu thức $A$:

  $3A - A = (3^1 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^8) - (1 + 3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^7)$

  Sau khi giản ước các số hạng đồng dạng trùng nhau giữa hai ngoặc, biểu thức thu được là:

  $2A = 3^8 - 1$

  Thực hiện chia cả hai vế cho hằng số 2 để tìm giá trị thu gọn của $A$:

  $A = (3^8 - 1) : 2$

  Đây chính là điều phải chứng minh.

Bài toán 14: Cho biểu thức tổng lũy thừa cơ số 3 mở rộng:

• a) Tính giá trị của biểu thức $3A$ Ta thực hiện nhân thêm hằng số cơ số 3 vào cả hai vế của biểu thức $A$:

  $3A = 3 \cdot (1 + 3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^{2006})$

  Áp dụng quy tắc nhân lũy thừa cùng cơ số để viết lại chuỗi số:

  $3A = 3^1 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + \dots + 3^{2007}$

• b) Chứng minh đẳng thức: $A = (3^{2007} - 1) : 2$ Ta thực hiện phép tính trừ vế theo vế giữa biểu thức $3A$ và biểu thức $A$:

  $3A - A = (3^1 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^{2007}) - (1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^{2006})$

  Phá ngoặc và triệt tiêu toàn bộ các số hạng giống nhau chạy từ $3^1$ đến $3^{2006}$ ở hai vế, ta được:

  $2A = 3^{2007} - 1$

  Thực hiện chia cả hai vế cho hằng số 2 để cô lập đại lượng $A$:

  $A = (3^{2007} - 1) : 2$

  Đây chính là điều phải chứng minh.

Bài toán 15: Cho biểu thức tổng lũy thừa cơ số 4 cách đều:

• a) Tính giá trị của biểu thức $4A$ Ta thực hiện nhân thêm hằng số cơ số 4 vào cả hai vế của biểu thức $A$:

  $4A = 4 \cdot (1 + 4 + 4^2 + 4^3 + 4^4 + 4^5 + 4^6)$

  Khi nhân phân phối số 4 vào từng số hạng bên trong dấu ngoặc, số mũ của mỗi lũy thừa sẽ được nâng lên 1 bậc:

  $4A = 4 + 4^2 + 4^3 + 4^4 + 4^5 + 4^6 + 4^7$

• b) Chứng minh đẳng thức: $A = (4^7 - 1) : 3$ Ta thực hiện phép tính trừ vế theo vế giữa biểu thức $4A$ và biểu thức $A$:

  $4A - A = (4 + 4^2 + 4^3 + 4^4 + 4^5 + 4^6 + 4^7) - (1 + 4 + 4^2 + 4^3 + 4^4 + 4^5 + 4^6)$

  Khi phá ngoặc và thực hiện phép trừ, tất cả các hạng tử trung gian giống nhau ở cả hai vế sẽ bị triệt tiêu hoàn toàn, biểu thức chỉ còn lại số hạng cuối cùng trừ đi số hạng đầu tiên:

  $3A = 4^7 - 1$

  Thực hiện chia cả hai vế cho hằng số 3 để cô lập biểu thức $A$, ta thu được:

  $A = (4^7 - 1) : 3$

  Đây chính là điều phải chứng minh.

Bài toán 16: Tính tổng các chuỗi số lũy thừa cách đều

• a) Tính tổng chuỗi số cơ số 2 bắt đầu từ số 1:

  $$S = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{2017}$$

  Ta thực hiện nhân thêm hằng số cơ số 2 vào cả hai vế của biểu thức $S$:

  $2S = 2 \cdot (1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{2017})$

  $2S = 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + \dots + 2^{2018}$

  Lấy vế của biểu thức $2S$ trừ đi vế của biểu thức $S$ ban đầu, ta được:

  $2S - S = (2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{2018}) - (1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^{2017})$

  $S = 2^{2018} - 1$

  Vậy giá trị tổng thu gọn thu được là $S = 2^{2018} - 1$.

• b) Tính tổng chuỗi số cơ số 3 bắt đầu từ số 3:

  $$S = 3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^{2017}$$

  Ta thực hiện nhân thêm hằng số cơ số 3 vào cả hai vế của biểu thức $S$:

  $3S = 3 \cdot (3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^{2017})$

  $3S = 3^2 + 3^3 + 3^4 + \dots + 3^{2018}$

  Lấy vế của biểu thức $3S$ trừ đi vế của biểu thức $S$ ban đầu, ta được:

  $3S - S = (3^2 + 3^3 + 3^4 + \dots + 3^{2018}) - (3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^{2017})$

  $2S = 3^{2018} - 3$

  Thực hiện chia cả hai vế cho hằng số 2 để tìm giá trị của $S$:

  $S = (3^{2018} - 3) : 2$

  Vậy giá trị tổng thu gọn thu được là $S = (3^{2018} - 3) : 2$.

• c) Tính tổng chuỗi số cơ số 4 bắt đầu từ số 4:

  $$S = 4 + 4^2 + 4^3 + \dots + 4^{2017}$$

  Ta thực hiện nhân thêm hằng số cơ số 4 vào cả hai vế của biểu thức $S$:

  $4S = 4 \cdot (4 + 4^2 + 4^3 + \dots + 4^{2017})$

  $4S = 4^2 + 4^3 + 4^4 + \dots + 4^{2018}$

  Lấy vế của biểu thức $4S$ trừ đi vế của biểu thức $S$ ban đầu, ta được:

  $4S - S = (4^2 + 4^3 + 4^4 + \dots + 4^{2018}) - (4 + 4^2 + 4^3 + \dots + 4^{2017})$

  $3S = 4^{2018} - 4$

  Thực hiện chia cả hai vế cho hằng số 3 để tìm giá trị của $S$:

  $S = (4^{2018} - 4) : 3$

  An tâm kết luận, giá trị tổng thu gọn thu được là $S = (4^{2018} - 4) : 3$.

• d) Tính tổng chuỗi số cơ số 5 bắt đầu từ số 5:

  $$S = 5 + 5^2 + 5^3 + \dots + 5^{2017}$$

  Ta thực hiện nhân thêm hằng số cơ số 5 vào cả hai vế của biểu thức $S$:

  $5S = 5 \cdot (5 + 5^2 + 5^3 + \dots + 5^{2017})$

  $5S = 5^2 + 5^3 + 5^4 + \dots + 5^{2018}$

  Lấy vế của biểu thức $5S$ trừ đi vế của biểu thức $S$ ban đầu, ta được:

  $5S - S = (5^2 + 5^3 + 5^4 + \dots + 5^{2018}) - (5 + 5^2 + 5^3 + \dots + 5^{2017})$

  $4S = 5^{2018} - 5$

  Thực hiện chia cả hai vế cho hằng số 4 để tìm giá trị của $S$:

  $S = (5^{2018} - 5) : 4$

  Mạch lạc kết luận, giá trị tổng thu gọn thu được là $S = (5^{2018} - 5) : 4$.