Ôn tập toán 6 - Luỹ thừa với số mũ tự nhiên và bài tập áp dụng

Trong bài viết này chúng ta cùng ôn lại kiến thức về luỹ thừa với số mũ tự nhiên và làm 1 số bài tập áp dụng để các em hiểu rõ hơn.

I. Lý thuyết về Luỹ thừa với số mũ tự nhiên

1. Lũy thừa với số mũ tự nhiên

- Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a :

 aⁿ = a.a…..a (n thừa số a) (n khác 0)

 a được gọi là cơ số.

 n được gọi là số mũ.

2. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số

•  a^m. aⁿ = a^m+n

- Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữa nguyên cơ số và cộng các số mũ.

3. Chia hai lũy thừa cùng cơ số

• a^m : aⁿ = a^m-n (a ≠ 0 ; m ≠ 0)

- Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số (khác 0), ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ cho nhau.

4. Lũy thừa của lũy thừa

• (a^m)ⁿ = a^m.n

* Ví dụ: (3²)⁴ = 3^2.4 = 3⁸

5. Nhân hai lũy thừa cùng số mũ, khác sơ số

• a^m . b^m = (a.b)^m

* Ví dụ: 3³ . 4³ = (3.4)³ = 12³

6. Chia hai lũy thừa cùng số mũ, khác cơ số

• a^m : b^m = (a : b)^m

* Ví dụ: 8⁴ : 4⁴ = (8 : 4)­⁴ = 2⁴

7. Một vài quy ước

• 1ⁿ = 1 ;

* Ví dụ: 1²⁰¹⁷ = 1

• a⁰ = 1

* Ví dụ: 2017⁰ = 1

II. Bài tập áp dụng Luỹ thừa với số mũ tự nhiên

- Luỹ thừa với số mũ tự nhiên có nhiều dạng toán đòi hỏi sự linh hoạt trong các phép biến đổi và vận dụng, bài viết này hướng dẫn các em một số phép biến đổi để vận dụng vào một số dạng toán luỹ thừa.

◊ Bài 1: Thực hiện các phép tính sau:

a) 3⁷ .27⁵ .81³

b) 100⁶ .1000⁵ .10000³

c) 36⁵ : 18⁵

d) 24.5⁵ + 5² .5³

e) 125⁴ : 5⁸

f) 81.(27 + 9¹⁵) : (3⁵ + 3³²)

° Hướng dẫn giải: (đối với dạng toán này chúng ta cần linh hoạt biến đổi để đưa về cùng cơ số hay luỹ thừa để vận dụng các tính chất đã biết)

a) 3⁷ .27⁵ .81³ = 3⁷ .(3³ )⁵ .(3⁴)³ = 3⁷ .3¹⁵.3¹² = 3^7+15+12 = 3³⁴ .

b) Tương tự.

c) 36⁵ : 18⁵ = (36 : 18)⁵ = 2⁵ = 32.

d) 55 + 52 .53 = 24.55 + 55 = 55 .(24 + 1) = 55 .25 = 55 .52 = 57 .

e) 125⁴ : 5⁸ = (5³)⁴ : 5⁸ = 5¹² : 58 = 5^12-8 = 5⁴ = 625.

f) Cách 1: 81.(27 + 9¹⁵) : (3⁵ + 3³²) = 3⁴ .(3³ + 3³⁰) : [3⁵ (1 + 3²⁷)] = 3⁴ .3³ .(1 + 3²⁷) : [3⁵ .(1 + 3²⁷)] = 3⁷ : 3⁵ = 3^7-5 = 3² = 9.

Cách 2: 81.(27 + 9¹⁵) : (3⁵ + 3³²) = 3⁴ .(3³ + 3³⁰) : (3⁵ + 3³²) = 3² .(3³ .3² + 3³⁰.3² ) : (3⁵ + 3³²) = 3² (3⁵ + 3³²) : (3⁵ + 3³²) = 3² = 9.

Tuy nhiên, ở câu (f) cách 1 vận dụng phương pháp đặt nhân tử chung cho chúng ta cảm giác thấy thuận theo các phép biến đổi hơn.

◊ Bài 2: Thu gọn các tổng sau:

a) A = 2 + 2² + 2³ + … + 2²⁰¹⁷

b) B = 1 + 3² + 3⁴ + … + 3²⁰¹⁸

c) C = – 5 + 5² – 5³ + 5⁴ – … – 5²⁰¹⁷ + 5²⁰¹⁸

° Hướng dẫn giải:

a) Ta có:  A = 2 + 2² + 2³ + … + 2²⁰¹⁷

 ⇔ 2A = 2.( 2 + 2² + 2³ + … + 2²⁰¹⁷)

 ⇔ 2A = 2² + 2³ + 2⁴ + … + 2²⁰¹⁸

 ⇔ 2A – A = (2² + 2³ + 2⁴ + … + 2²⁰¹⁸) – (2 + 2² + 2³ + … + 2²⁰¹⁷)

 ⇔ A = 2²⁰¹⁸ – 2

b) B = 1 + 3² + 3⁴ + … + 3²⁰¹⁸

⇔ 3².B = 3².(1 + 3² + 3⁴ + … + 3²⁰¹⁸)

⇔ 9B = 3² + 3⁴ + 3⁶ + … + 3²⁰²⁰

⇔ 9B – B = (3² + 3⁴ + 3⁶ + … + 3²⁰²⁰) – (1 + 3² + 3⁴ + … + 3²⁰¹⁸)

⇔ 8B = 3²⁰²⁰ – 1

⇔ B = (3²⁰²⁰ – 1):8.

c) C = – 5 + 5² – 5³ + 5⁴ – … – 5²⁰¹⁷ + 5²⁰¹⁸

⇔ 5C = 5.(–5 + 5² – 5³ + 5⁴ – … – 5²⁰¹⁷ + 5²⁰¹⁸)

⇔ 5C = -5² + 5³ – 5⁴ + 5⁵ – … – 5²⁰¹⁸ + 5²⁰¹⁹

⇔ 5C + C = (-5² + 5³ – 5⁴ + 5⁵ – … – 5²⁰¹⁸ + 5²⁰¹⁹) + (- 5 + 5² – 5³ + 5⁴ – … – 5²⁰¹⁷ + 5²⁰¹⁸)

⇔ 6C = 5²⁰¹⁹ – 5

⇔ C = (5²⁰¹⁹ – 5) : 6

◊ Bài 3: So sánh:

a) 5³⁶ và 11²⁴

b) 3²ⁿ và 2³ⁿ (n ∈ N*)

c) 5²³ và 6.5²²

d) 2¹³ và 2¹⁶

e) 21¹⁵ và 27⁵ .49⁸

f) 72⁴⁵ – 72⁴⁴ và 72⁴⁴ – 72⁴³

° Hướng dẫn giải:

- Đối với dạng toán so sánh trong luỹ thừa chúng ta cần biến đổi về cùng cơ số để so sánh số mũ, hoặc cùng số mũ để so sánh cơ số.

a) 5³⁶ = (5³)¹² = 125¹²;

11²⁴ = (11²)¹² = 121¹² mà 125¹² > 121¹² => 5³⁶ > 11²⁴

b) Tương tự

c) Ta có: 5²³ = 5.5²² < 6.5²²

d) Tương tự.

e) 21¹⁵ = (7.3)¹⁵ = 7¹⁵.3¹⁵

Có 27⁵ .49⁸ = (3³)⁵.(7²)⁸ = 3¹⁵.7¹⁶ = 7.3¹⁵.7¹⁵ > 3¹⁵.7¹⁵ = 21¹⁵ ⇒ 27⁵ .49⁸ > 21¹⁵ .

f) 72⁴⁵ – 72⁴⁴ = 72⁴⁴.(72 – 1) = 72⁴⁴.71

Có 7244 – 72⁴³ = 72⁴³.(72 – 1) = 72⁴³.71 Mà 72⁴³.71 < 72⁴⁴.71

 ⇒ 72⁴⁴ – 72⁴³ < 72⁴⁵ – 72⁴⁴

◊ Bài 4: Tìm số tự nhiên x ∈ N, biết rằng:

a) 1 + 3 + 5 + … + x = 1600 (x là số tự nhiên lẻ) - Học sinh tự giải

b) 2^x + 2^{x + 3} = 144

° Hướng dẫn giải:

- Ta có: 2^x + 2^{x + 3} = 144 => 2^x + 2^x .2³ = 144

⇒ 2^x .(1 + 8) = 144

⇒ 2^x .9 = 144

⇒ 2^x = 144 : 9 = 16 = 2⁴

⇒ x = 4.

c) (x – 5)²⁰¹⁶ = (x – 5)²⁰¹⁸

⇒ (x – 5)²⁰¹⁸ – (x – 5)²⁰¹⁶ = 0

⇒ (x – 5)²⁰¹⁶.[(x – 5)² – 1] = 0

⇒ (x – 5)²⁰¹⁶ = 0 hoặc [(x – 5)² – 1] = 0

⇒ x  – 5 = 0 hoặc x – 5 = 1 hoặc x – 5 = -1

⇒ x = 5 hoặc x = 6 hoặc x = 4 (Thỏa  mãn x ∈ N).

- Kết luận: x ∈ {4; 5; 6}.

d) (2x + 1)³ = 9.81 Tự trình bày

◊ Bài 5: Tìm tập hợp các số tự nhiên x, biết rằng: Lũy thừa 5^{2x – 1} thỏa mãn điều kiện: 100 < 5^{2x – 1} < 56.

° Hướng dẫn giải:

- Ta có: 100 < 5^{2x – 1} < 56 

⇒ 5² < 100 < 5^2x-1 < 5⁶ 

=> 2 < 2x – 1 < 6 

⇒ 2 + 1 < 2x < 6 + 1 

⇒ 3 < 2x < 7 Vì x ∈ N nên suy ra: x ∈ {2; 3} là thỏa mãn.

III. Một số bài tập về Luỹ thừa các em tự giải

◊ Bài 1 : Viết gọn các tích sau dưới dạng lũy thừa.

a) 4 . 4 . 4 . 4 . 4           c) 2 . 4 . 8 . 8 . 8 . 8

b) 10 . 10 . 10 . 100       d) x . x . x . x

° Đáp án bài 1:

a) 4⁵     b) 8⁵     c) 10⁵    d) x⁴

◊ Bài 2 : Tính giá trị của các biểu thức sau.

a) a⁴.a⁶    b) (a⁵)⁷       c) (a³)⁴ . a⁹      d) (2³)⁵.(2³)⁴

° Đáp án bài 2:

a) a¹⁰     b) a³⁵     c) a²¹    d) 2²⁷

◊ Bài 3 : Viết các tích sau dưới dạng một lũy thừa.

a) 4⁸ . 2²⁰ ;  9¹² . 27⁵ . 81⁴ ;  64³ . 4⁵ . 16²

b) 25²⁰ . 125⁴ ;  x⁷ . x⁴ . x³ ;  3⁶ . 4⁶

c) 8⁴ . 2³ . 16² ;  2³ . 2² . 8³ ;   y . y⁷

° Đáp án bài 3:

a) 4⁸.4¹⁰ = 4¹⁸  ; 3²⁴.3¹⁵.3¹⁶ = 3⁵⁵ ; 4⁹.4⁵.4⁴ = 4¹⁸

b) 5⁴⁰.5¹² = 5⁵²; x¹⁴ ; 12⁶

c) 2¹².2³.2⁸ = 2²³; 2³.2².2⁹ = 2¹⁴; y⁸

◊ Bài 4 : Tính giá trị các lũy thừa sau:

a) 2² , 2³ , 2⁴ , 2⁵ , 2⁶ , 2⁷ , 2⁸ , 2⁹ , 2¹⁰.

b) 3² , 3³ , 3⁴ , 3⁵; c) 4², 4³, 4⁴ ; d) 5² , 5³ , 5⁴.

° Đáp án bài 4:

a) 2² = 4; 2³ = 2².2 = 8; 16; ...; 512; 2¹⁰ = 2⁹.2 = 1024.

b) 3² = 9; 3³ = 3².3 = 27; ...; 3⁵ = 3⁴.3 = 243.

c) 4² = 16; ...; 4⁴ = 4³.4 = 256.

d) 5² = 25; 5³ = 5².5 = 125; 5⁴ = 5³.5 = 625.

◊ Bài 5 : Viết các thương sau dưới dạng một lũy thừa.

a) 4⁹ : 4⁴ ;    17⁸ : 17⁵   ;    2¹⁰ : 8²   ;    18¹⁰ : 3¹⁰   ;   27⁵ : 81³

b) 10⁶ : 100 ;   5⁹ : 25³    ;   4¹⁰ : 64³    ;   2²⁵ : 32⁴   : 18⁴ : 9⁴

° Đáp án bài 5:

a) 4⁵ ; 17³ ; 2⁸; 6¹⁰ ; 3³

b) 10⁴; 5³; 4; 2⁵; 9⁴

◊ Bài 6 : Viết các tổng sau thành một bình phương.

a) 1³ + 2³     b) 1³ + 2³ + 3³      c) 1³ + 2³ + 3³ + 4³

° Đáp án bài 6:

a) 3²;   b) 4²;    c) 10²

◊ Bài 7 : Tìm x  N, biết.

a) 3^x . 3 = 243    b) 2^x . 16² = 1024   c) 64.4^x = 16⁸    d) 2^x = 16

° Đáp án bài 7:

a) 3^{x +1} = 3⁵ ⇒ x + 1 = 5 ⇒ x = 4

b) 2^{x +8} = 2¹⁰ ⇒ x + 8 = 10 ⇒ x = 2

c) 4^3+x = 4¹⁶ ⇒ 3 + x = 16 ⇒ x = 13

d) 2^x = 2⁴ ⇒ x = 4

◊ Bài 8 : Thực hiện các phép tính sau bằng cách hợp lý.

a) A = (2¹⁷ + 17²).(9¹⁵ – 3¹⁵).(2⁴ – 4²)

b) B = (8²⁰¹⁷ – 8²⁰¹⁵) : (8²¹⁰⁴.8)

c) C = (1³ + 2³ + 3⁴ + 4⁵).(1³ + 2³ + 3³ + 4³).(3⁸ – 81²)

d) D = (2⁸ + 8³) : (2⁵.2³)

° Đáp án bài 8:

a) A = 0. (để ý: 2⁴ – 4² = 0)

b) B = 8²⁰¹⁷ – 8²⁰¹⁵ : (8²¹⁰⁴.8) = 8².8²⁰¹⁵ - 8²⁰¹⁵ : 8²¹⁰⁴.8= 63.8²⁰¹⁵ : 8²⁰¹⁵ = 63.

c) C = 0. (để ý: 3⁸ – 81² = 0)

d) (2⁸ + 8³) : (2⁵.2³) = [2⁸ + (2³)³] : 2⁸ = (2⁸ + 2⁹):2⁸ = (2⁸ + 2.2⁸):2⁸ = 3.2⁸ : 2⁸ = 3.

◊ Bài 9 : Viết các kết quả sau dưới dạng một lũy thừa.

a) 125⁵ : 25³ ;b) 27⁶ : 9³ ; c) 4²⁰ : 2¹⁵ ;

d) 24ⁿ : 2²ⁿ ; e) 64⁴ . 16⁵ : 4²⁰ ; g)32⁴ : 8⁶

◊ Bài 10 : Tìm x, biết.

a) 2^x.4 = 128; b) (2x + 1)³ = 125: c) 2^x – 26 = 6

d) 64.4^x = 4⁵ ; e) 27.3^x = 243 ; g) 49.7^x = 2041

h) 3^x = 81 ; k) 3⁴.3^x = 3⁷ ; n) 3^x + 25 = 26.2² + 2.3⁰

° Đáp án bài 10:

a) 2^x.4 = 128 ⇔ 2^{x + 2} = 2⁶ ⇔ x + 2 = 6 ⇔ x = 4

b) (2x + 1)³ = 125 ⇔ (2x + 1)³ = 5³ ⇔ (2x + 1) = 5 ⇔ x = 2.

c) 2^x – 26 = 6 ⇔ 2^x = 6 + 26 = 32 ⇔ 2^x = 2⁵  ⇔ x = 5

◊ Bài 11 : So sánh

a) 2⁶ và 8² ;  5³ và 3⁵     ; 3² và 2³    ;    2⁶ và 6²

b) A = 2009.2011 và B = 2010²

c) A = 2015.2017 và B = 2016.2016

d) 2017⁰ và 1²⁰¹⁷

◊ Bài 12 : Cho A = 1 + 2¹ + 2² + 2³ + … + 2²⁰⁰⁷

a) Tính 2A

b) Chứng minh : A = 2²⁰⁰⁶ – 1

◊ Bài 13 : Cho A = 1 + 3 + 3² + 3³ + 3⁴ + 3⁵ + 3⁶ + 3⁷

a) Tính 3A

b) Chứng minh A = (3⁸ – 1) : 2

◊ Bài 14 : Cho A = 1 + 3 + 3² + … + 3²⁰⁰⁶

a) Tính 3A

b) Chứng minh : A = (3²⁰⁰⁷ – 1) : 2

◊ Bài 15 : Cho A = 1 + 4 + 4² + 4³ + 4⁵ + 4⁶

a) Tính 4A

b) Chứng minh : A = (4⁷ – 1) : 3