Cách chia 2 lũy thừa cùng cơ số khác số mũ và bài tập vận dụng Toán 6

Bài viết này Hay Học Hỏi sẽ giúp các em hệ thống lại toàn bộ công thức tổng quát, lưu ý các điều kiện ràng buộc toán học, đồng thời cung cấp kho bài tập vận dụng phong phú được chia rõ ràng thành phần đề bài và lời giải dọc để các em tiện ôn tập.

I. Quy Tắc Chia 2 Lũy Thừa Cùng Cơ Số Khác Số Mũ

Để thực hiện phép toán chia hai lũy thừa có phần cơ số giống nhau nhưng phần số mũ khác nhau, phương pháp cốt lõi là chúng ta tiến hành giữ nguyên phần cơ số và trừ các số mũ cho nhau (lấy số mũ của số bị chia trừ đi số mũ của số chia).

Công thức tổng quát đại số:

Điều kiện ràng buộc toán học:

• Cơ số $a$ phải là một số tự nhiên khác 0 ($a \neq 0$) vì phép chia cho số 0 là không có nghĩa.

• Số mũ của số bị chia phải lớn hơn hoặc bằng số mũ của số chia ($m \geq n$).

• Ví dụ mẫu 1: Thực hiện phép tính: $9^4 : 9^2$

  Áp dụng công thức, ta giữ nguyên cơ số 9 và thực hiện trừ hai số mũ:

  $9^{4-2} = 9^2 = 81$

• Ví dụ mẫu 2: Thực hiện phép tính: $10^5 : 10^3$

  Áp dụng công thức, ta thu gọn biểu thức số học như sau:

  $10^{5-3} = 10^2 = 100$

Mẹo nhỏ từ Hay Học Hỏi: Trong quá trình biến đổi, nếu các em gặp trường hợp số mũ bằng nhau ($m = n$), kết quả của phép trừ số mũ sẽ bằng 0. Theo quy ước toán học, bất kỳ số nào khác 0 khi nâng lên lũy thừa mũ 0 đều có giá trị bằng 1 (nghĩa là $a^0 = 1$). Ví dụ: $5^3 : 5^3 = 5^{3-3} = 5^0 = 1$.

II. Hệ Thống Bài Tập Thực Hành (Học Sinh Tự Giải)

Các em hãy chép lại các đề bài dưới đây vào vở nháp, áp dụng quy tắc giữ nguyên cơ số và tính toán số mũ để tự tìm đáp án trước khi đối chiếu với phần hướng dẫn giải ở mục sau nhé:

• Bài tập 1: Viết kết quả các phép tính sau dưới dạng một lũy thừa duy nhất bằng phương pháp đổi cơ số bổ trợ:

  • a) $125^5 : 25^3$

  • b) $27^6 : 9^3$

  • c) $4^{20} : 2^{15}$

  • d) $2^{4n} : 2^{2n}$ (với $n$ là số tự nhiên khác 0)

  • e) $64^4 \cdot 16^5 : 4^{20}$

  • g) $32^4 : 8^6$

• Bài tập 2: Thực hiện tính thương của các lũy thừa sau và rút gọn về dạng một lũy thừa gọn nhất:

  • a) Bộ chuỗi thứ nhất: $4^9 : 4^4$; \ $17^8 : 17^5$; \ $2^{10} : 8^2$; \ $18^{10} : 3^{10}$; \ $27^5 : 81^3$

  • b) Bộ chuỗi thứ hai: $10^6 : 100$; \ $5^9 : 25^3$; \ $4^{10} : 64^3$; \ $2^{25} : 32^4$; \ $18^4 : 9^4$

III. Hướng Dẫn Giải Chi Tiết Và Đáp An Tham Khảo

Hướng dẫn giải Bài tập 1

Đối với dạng toán này, thử thách dành cho các em là các số hạng ban đầu chưa đồng nhất về mặt cơ số. Phương pháp giải là áp dụng công thức lũy thừa của lũy thừa $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ để đưa chúng về cùng một cơ số nguyên tố cơ bản trước khi trừ số mũ.

• Câu a: Tính $125^5 : 25^3$ Ta đưa các cơ số về dạng lũy thừa của cơ số 5:

  $125 = 5^3$

  $25 = 5^2$

  Thay vào biểu thức ban đầu, ta được:

  $(5^3)^5 : (5^2)^3$

  $= 5^{3 \cdot 5} : 5^{2 \cdot 3}$

  $= 5^{15} : 5^6$

  $= 5^{15 - 6}$

  $= 5^9$

  Vậy kết quả thu gọn là $5^9$.

• Câu b: Tính $27^6 : 9^3$ Ta đưa các cơ số về dạng lũy thừa của cơ số 3:

  $27 = 3^3$

  $9 = 3^2$

  Thay vào biểu thức ban đầu, ta được:

  $(3^3)^6 : (3^2)^3$

  $= 3^{3 \cdot 6} : 3^{2 \cdot 3}$

  $= 3^{18} : 3^6$

  $= 3^{18 - 6}$

  $= 3^{12}$

  An tâm kết luận, kết quả thu gọn là $3^{12}$.

• Câu c: Tính $4^{20} : 2^{15}$ Ta đưa cơ số 4 về dạng lũy thừa của cơ số 2:

  $4 = 2^2$

  Thay vào biểu thức ban đầu, ta được:

  $(2^2)^{20} : 2^{15}$

  $= 2^{2 \cdot 20} : 2^{15}$

  $= 2^{40} : 2^{15}$

  $= 2^{40 - 15}$

  $= 2^{25}$

  Vậy kết quả thu gọn là $2^{25}$.

• Câu d: Tính $2^{2n}$ từ phép chia chứa ẩn số ở số mũ $2^{4n} : 2^{2n}$ Do biểu thức đã đồng nhất cơ số 2, ta áp dụng trực tiếp quy tắc trừ hai số mũ chứa biến chữ:

  $= 2^{4n - 2n}$

  $= 2^{2n}$

• Câu e: Tính $64^4 \cdot 16^5 : 4^{20}$ Ta thực hiện phân tích và đưa toàn bộ các cơ số về lũy thừa của cơ số 4:

  $64 = 4^3$

  $16 = 4^2$

  Thay vào biểu thức ban đầu, ta được:

  $(4^3)^4 \cdot (4^2)^5 : 4^{20}$

  $= 4^{12} \cdot 4^{10} : 4^{20}$

  Áp dụng kết hợp quy tắc nhân cộng số mũ và chia trừ số mũ theo thứ tự từ trái sang phải:

  $= 4^{12 + 10 - 20}$

  $= 4^2$

  Vậy kết quả thu gọn cuối cùng bằng $4^2$ (hoặc viết dưới dạng số học là 16).

• Câu g: Tính $32^4 : 8^6$ Ta thực hiện đưa hai cơ số về lũy thừa của cơ số 2:

  $32 = 2^5$

  $8 = 2^3$

  Thay vào biểu thức ban đầu, ta được:

  $(2^5)^4 : (2^3)^6$

  $= 2^{20} : 2^{18}$

  $= 2^{20 - 18}$

  $= 2^2$

  Vậy kết quả thu gọn bằng $2^2$ (tức là 4).

Hướng dẫn giải Bài tập 2

• Câu a: Thu gọn bộ chuỗi thứ nhất * Phép tính thứ nhất: $4^9 : 4^4 = 4^{9 - 4} = 4^5$

  • Phép tính thứ hai: $17^8 : 17^5 = 17^{8 - 5} = 17^3$

  • Phép tính thứ ba: $2^{10} : 8^2$

    Ta biến đổi cơ số 8 vế sau thành $2^3$:

    $= 2^{10} : (2^3)^2$

    $= 2^{10} : 2^6$

    $= 2^{10 - 6} = 2^4$

  • Phép tính thứ tư: $18^{10} : 3^{10}$

    Lưu ý mở rộng từ Hay Học Hỏi: Đây là dạng toán chia hai lũy thừa cùng số mũ khác cơ số. Các em áp dụng công thức chia hai cơ số và giữ nguyên số mũ 10 ở bên ngoài nhé:

    $= (18 : 3)^{10} = 6^{10}$

  • Phép tính thứ năm: $27^5 : 81^3$

    Ta thực hiện đưa toàn bộ biểu thức về cơ số 3:

    $= (3^3)^5 : (3^4)^3$

    $= 3^{15} : 3^{12}$

    $= 3^{15 - 12} = 3^3$

• Câu b: Thu gọn bộ chuỗi thứ hai * Phép tính thứ nhất: $10^6 : 100$

  Đưa hằng số 100 về dạng $10^2$:

  $= 10^6 : 10^2 = 10^{6 - 2} = 10^4$

  • Phép tính thứ hai: $5^9 : 25^3$

    Đưa cơ số 25 về dạng $(5^2)$:

    $= 5^9 : (5^2)^3$

    $= 5^9 : 5^6 = 5^{9 - 6} = 5^3$

  • Phép tính thứ ba: $4^{10} : 64^3$

    Ta đưa cơ số 64 về lũy thừa của 4 là $4^3$:

    $= 4^{10} : (4^3)^3$

    $= 4^{10} : 4^9$

    $= 4^{10 - 9} = 4^1 = 4$

    (Cách giải khác: Các em có thể đưa về cơ số 2 giống như đề bài gợi ý: $(2^2)^{10} : (2^6)^3 = 2^{20} : 2^{18} = 2^{20-18} = 2^2 = 4$. Cả hai cách biến đổi đều cho ra một đáp số số học trùng khớp hoàn toàn). * Phép tính thứ tư: $2^{25} : 32^4$

    Đưa cơ số 32 về dạng $(2^5)$:

    $= 2^{25} : (2^5)^4$

    $= 2^{25} : 2^{20} = 2^{25 - 20} = 2^5$

  • Phép tính thứ năm: $18^4 : 9^4$

    Áp dụng quy tắc chia cùng số mũ khác cơ số:

    $= (18 : 9)^4 = 2^4$