Cách tìm ƯCLN (Ước chung lớn nhất) của 2 số, 3 số Toán 6 (dễ hiểu nhất)

Vậy làm sao để tìm Ước chung và Ước chung lớn nhất của 2 số, 3 số hay nhiều số một cách chính xác nhất? Bài viết dưới đây Hay Học Hỏi sẽ chia sẻ với các em quy trình toán học cốt lõi, cẩm nang 3 bước phá đảo dạng toán này và hệ thống bài tập tự luận có lời giải chi tiết.

Lưu ý từ Hay Học Hỏi: Trong phạm vi chương này, chúng ta đang làm việc hoàn toàn trên tập hợp số tự nhiên $\mathbb{N}$. Khi học sang các chương sau về tập hợp số nguyên $\mathbb{Z}$, khái niệm ước và bội sẽ được mở rộng thêm cả các số nguyên âm.

I. Định Nghĩa Về Ước Chung Và Ước Chung Lớn Nhất (ƯCLN)

Để bắt tay vào giải toán một cách thành thạo, trước tiên các em cần phân biệt rõ hai khái niệm cơ bản dưới đây:

1. Ước chung là gì?

Ước chung của hai hay nhiều số là số thuộc tập hợp ước của tất cả các số đó.

• Kí hiệu tập hợp ước chung của $a$ và $b$ là: $ƯC(a, b)$

• Số số tự nhiên $x$ được gọi là thuộc tập hợp $ƯC(a, b)$ nếu thỏa mãn đồng thời hai phép chia hết: $a \ \vdots \ x$ và $b \ \vdots \ x$.

Ví dụ trực quan: Ta có tập hợp ước của 4 và 6 lần lượt là:

$Ư(4) = \{1; 2; 4\}$

$Ư(6) = \{1; 2; 3; 6\}$

Nhận thấy các phần tử chung xuất hiện ở cả hai tập hợp là số 1 và số 2.

Do đó, tập hợp ước chung của 4 và 6 được viết là: $ƯC(4, 6) = \{1; 2\}$.

2. Ước chung lớn nhất (ƯCLN) là gì?

Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số có giá trị lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó. Kí hiệu là ƯCLN.

Ví dụ trực quan: Ta có tập hợp ước của 12 và 30 lần lượt là:

$Ư(12) = \{1; 2; 3; 4; 6; 12\}$

$Ư(30) = \{1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30\}$

Từ hai tập hợp trên, ta tìm được các ước chung: $ƯC(12, 30) = \{1; 2; 3; 6\}$.

Trong tập hợp ước chung này, số có giá trị lớn nhất là số 6.

Ta nói 6 là ước chung lớn nhất của 12 và 30, viết là: $\text{ƯCLN}(12, 30) = 6$.

3. Quy trình 3 bước tìm Ước chung lớn nhất (ƯCLN)

Muốn tìm ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số tự nhiên lớn hơn 1 mà không cần mất thời gian liệt kê toàn bộ tập ước, các em hãy áp dụng quy trình 3 bước sau:

• Bước 1: Phân tích mỗi số tự nhiên đã cho ra thừa số nguyên tố (bằng phương pháp cột dọc hoặc sơ đồ nhánh).

• Bước 2: Quan sát và chọn ra các thừa số nguyên tố chung xuất hiện ở tất cả các số.

• Bước 3: Lập một phép tính tích các thừa số nguyên tố đã chọn, trong đó mỗi thừa số sẽ lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Giá trị của tích chính là ƯCLN cần tìm.

II. Hệ Thống Bài Tập Tìm Ước Chung Và ƯCLN Có Lời Giải

Bài 1: Tìm Ước chung lớn nhất của các số cho trước

Hãy xác định ƯCLN của các tập hợp số sau đây:

• a) 56 và 140

• b) 24; 84 và 180

• c) 60 và 180

• d) 15 và 19

Lời giải chi tiết:

a) Tìm ƯCLN(56, 140) Thực hiện phân tích hai số ra thừa số nguyên tố:

$56 = 2^3 \cdot 7$

$140 = 2^2 \cdot 5 \cdot 7$

Các thừa số nguyên tố chung của hai số là 2 và 7.

Chọn số mũ nhỏ nhất của 2 là số mũ 2, số mũ nhỏ nhất của 7 là số mũ 1.

Ta tính được: $\text{ƯCLN}(56, 140) = 2^2 \cdot 7 = 4 \cdot 7 = 28$.

b) Tìm ƯCLN(24, 84, 180) Thực hiện phân tích ba số ra thừa số nguyên tố:

$24 = 2^3 \cdot 3$

$84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$

$180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$

Các thừa số nguyên tố chung xuất hiện ở cả ba số là 2 và 3.

Chọn số mũ nhỏ nhất của 2 là số mũ 2, số mũ nhỏ nhất của 3 là số mũ 1.

Ta tính được: $\text{ƯCLN}(24, 84, 180) = 2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$.

c) Tìm ƯCLN(60, 180) Cách 1 (Phương pháp phân tích thông thường): $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$

$180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$

Ta lập tích với số mũ nhỏ nhất: $\text{ƯCLN}(60, 180) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.

Cách 2 (Mẹo tính nhanh trường hợp đặc biệt): Nhận thấy số 180 chia hết cho số 60. Do số 60 là một ước của 180 nên theo quy tắc toán học đặc biệt, ước chung lớn nhất của cặp số này chính bằng số nhỏ hơn.

Ta có ngay kết quả: $\text{ƯCLN}(60, 180) = 60$.

d) Tìm ƯCLN(15, 19) Thực hiện phân tích ra thừa số nguyên tố:

$15 = 3 \cdot 5$

$19 = 19$ (vì 19 là số nguyên tố)

Nhận thấy hai số trên không có bất kỳ thừa số nguyên tố chung nào. Theo định nghĩa số học, hai số không chứa thừa số nguyên tố chung được gọi là hai số nguyên tố cùng nhau.

Do đó, ta có kết quả: $\text{ƯCLN}(15, 19) = 1$.

Bài 2: Tìm ƯCLN bằng cách ứng dụng mẹo chia hết

Hãy xác định nhanh ƯCLN của các tập hợp số sau:

• a) 16; 80 và 176

• b) 18; 30 và 77

Lời giải chi tiết:

a) Tìm ƯCLN(16, 80, 176) Ta tiến hành thực hiện phép tính chia nhẩm để kiểm tra tính chia hết của các số lớn đối với số nhỏ nhất là 16.

Ta thấy: 80 chia hết cho 16 (được thương bằng 5) và 176 chia hết cho 16 (được thương bằng 11).

Vì số 16 đóng vai trò là ước của cả hai số còn lại, nên theo tính chất đặc biệt, số 16 chính là ước chung lớn nhất của bộ ba số này.

Kết luận: $\text{ƯCLN}(16, 80, 176) = 16$.

b) Tìm ƯCLN(18, 30, 77) Thực hiện phân tích các số ra thừa số nguyên tố:

$18 = 2 \cdot 3^2$

$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$

$77 = 7 \cdot 11$

Quan sát dạng phân tích của cả ba số, ta thấy không tồn tại bất kỳ một thừa số nguyên tố chung nào xuất hiện đồng thời ở cả ba số hạng. Do đó, tập hợp ước chung của chúng chỉ chứa phần tử duy nhất là số 1.

Kết luận: $\text{ƯCLN}(18, 30, 77) = 1$.

Bài 3: Tìm ƯCLN rồi suy ra tập hợp các ước chung

Hãy xác định ƯCLN, từ đó tìm tập hợp ƯC của các số sau đây:

• a) 16 và 24

• b) 180 và 234

• c) 60; 90 và 135

Lời giải chi tiết:

a) Tìm ƯC(16, 24) thông qua ƯCLN Ta có: $16 = 2^4$ và $24 = 2^3 \cdot 3$.

Ước chung lớn nhất là: $\text{ƯCLN}(16, 24) = 2^3 = 8$.

Tập hợp ước chung của 16 và 24 chính là tập hợp các ước của ƯCLN vừa tìm được (ước của số 8):

$ƯC(16, 24) = Ư(8) = \{1; 2; 4; 8\}$.

b) Tìm ƯC(180, 234) thông qua ƯCLN Ta có: $180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$ và $234 = 2 \cdot 3^2 \cdot 13$.

Ước chung lớn nhất là: $\text{ƯCLN}(180, 234) = 2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18$.

Tập hợp ước chung của 180 và 234 chính là tập hợp các ước của số 18:

$ƯC(180, 234) = Ư(18) = \{1; 2; 3; 6; 9; 18\}$.

c) Tìm ƯC(60, 90, 135) thông qua ƯCLN Ta có: $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$; \ $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$; \ $135 = 3^3 \cdot 5$.

Thừa số nguyên tố chung là 3 và 5.

Ước chung lớn nhất là: $\text{ƯCLN}(60, 90, 135) = 3^1 \cdot 5^1 = 15$.

Tập hợp ước chung của ba số chính là tập hợp các ước của số 15:

$ƯC(60, 90, 135) = Ư(15) = \{1; 3; 5; 15\}$.

Bài 4: Bài toán tìm số tự nhiên thỏa mãn ràng buộc lớn nhất

Tìm số tự nhiên $a$ có giá trị lớn nhất, biết rằng số $a$ thỏa mãn đồng thời hai phép chia hết sau: 420 chia hết cho $a$ và 700 chia hết cho $a$.

Lời giải chi tiết: Vì số 420 chia hết cho $a$ và số 700 cũng chia hết cho $a$, nên theo định nghĩa số học, số $a$ phải đóng vai trò là một ước chung của 420 và 700. Nghĩa là số $a$ thuộc tập hợp $ƯC(420, 700)$.

Mặt khác, đề bài đưa ra điều kiện ràng buộc số $a$ phải là số tự nhiên có giá trị lớn nhất. Do đó, số $a$ cần tìm chính là ước chung lớn nhất của hai số trên: $a = \text{ƯCLN}(420, 700)$.

Ta tiến hành phân tích hai số ra thừa số nguyên tố để tính toán giá trị:

$420 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$

$700 = 2^2 \cdot 5^2 \cdot 7$

Biểu thức tích lập được với số mũ nhỏ nhất là:

$\text{ƯCLN}(420, 700) = 2^2 \cdot 5 \cdot 7 = 4 \cdot 5 \cdot 7 = 140$.

Kết luận: Vậy giá trị số tự nhiên lớn nhất cần tìm là $a = 140$.

Bài 5: Giải bài toán đố thực tế ứng dụng chia hết hình học

Bạn Lan đang sở hữu một tấm bìa hình chữ nhật lớn có kích thước chiều rộng bằng $75\text{ cm}$ và chiều dài bằng $105\text{ cm}$. Lan có nguyện vọng muốn cắt hoàn toàn tấm bìa lớn đó thành các mảnh nhỏ hình vuông bằng nhau sao cho tấm bìa được cắt hết vừa vặn, hoàn toàn không bị thừa lại bất kỳ mảnh vụn nào. Em hãy tính giúp Lan độ dài lớn nhất của cạnh mảnh hình vuông nhỏ có thể cắt được (biết số đo cạnh của hình vuông là một số tự nhiên có đơn vị tính bằng xentimét).

Lời giải chi tiết:

Để tấm bìa hình chữ nhật lớn được cắt phân tách hoàn toàn thành các mảnh hình vuông bằng nhau mà không còn thừa một mẩu bìa nào, thì độ dài cạnh của hình vuông nhỏ bắt buộc phải đóng vai trò là một ước số tự nhiên của cả chiều rộng và chiều dài của tấm bìa lớn. Nghĩa là độ dài cạnh hình vuông phải thuộc tập hợp ước chung của 75 và 105.

Do đề bài yêu cầu xác định độ dài lớn nhất của cạnh hình vuông nhỏ, nên giá trị này chính là ước chung lớn nhất của chiều rộng và chiều dài tấm bìa: $\text{ƯCLN}(75, 105)$.

Ta tiến hành phân tích hai kích thước ra thừa số nguyên tố để tìm kết quả:

$75 = 3 \cdot 5^2$

$105 = 3 \cdot 5 \cdot 7$

Các thừa số nguyên tố chung xuất hiện ở cả hai số là 3 và 5. Ta thực hiện lấy số mũ nhỏ nhất của chúng là số mũ 1.

Biểu thức phép tính lập tích:

$\text{ƯCLN}(75, 105) = 3 \cdot 5 = 15$.

Kết luận: Vậy độ dài cạnh hình vuông lớn nhất mà bạn Lan có thể cắt được là $15\text{ cm}$.