Bài 9.33 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức: Bài toán chuyển động tổng hợp

Bài 9.33 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Vị trí của một vật chuyển động thẳng được cho bởi phương trình: s = f(t) = t³ – 6t² + 9t, trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét.

a) Tính vận tốc của vật tại các thời điểm t = 2 giây và t = 4 giây.

b) Tại những thời điểm nào vật đứng yên?

c) Tìm gia tốc của vật tại thời điểm t = 4 giây.

d) Tính tổng quãng đường vật đi được trong 5 giây đầu tiên.

e) Trong 5 giây đầu tiên, khi nào vật tăng tốc, khi nào vật giảm tốc?

Giải bài 9.33 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

a) Tính vận tốc tại $t = 2$ và $t = 4$

Vận tốc tức thời là đạo hàm bậc nhất của hàm vị trí:

• Tại $t = 2s$: $v(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = -3 \text{ (m/s)}$.

• Tại $t = 4s$: $v(4) = 3(4)^2 - 12(4) + 9 = 9 \text{ (m/s)}$.

b) Thời điểm vật đứng yên

Vật đứng yên khi vận tốc tức thời bằng $0$:

Giải phương trình ta được: $t = 1s$ hoặc $t = 3s$.

c) Gia tốc tại thời điểm $t = 4$

Gia tốc tức thời là đạo hàm của vận tốc (đạo hàm cấp hai của vị trí):

• Tại $t = 4s$: $a(4) = 6(4) - 12 = 12 \text{ (m/s}^2\text{)}$.

d) Tính tổng quãng đường trong 5 giây đầu tiên

Vì vật đổi chiều chuyển động tại $t = 1$ và $t = 3$, ta chia quãng đường thành 3 giai đoạn:

1. Giai đoạn 1 ($0 \leq t \leq 1$): $s(0) = 0$; $s(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) = 4$.

   $\Rightarrow d_1 = |4 - 0| = 4m$.

2. Giai đoạn 2 ($1 \leq t \leq 3$): $s(1) = 4$; $s(3) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3) = 0$.

   $\Rightarrow d_2 = |0 - 4| = 4m$.

3. Giai đoạn 3 ($3 \leq t \leq 5$): $s(3) = 0$; $s(5) = 5^3 - 6(5)^2 + 9(5) = 20$.

   $\Rightarrow d_3 = |20 - 0| = 20m$.

Tổng quãng đường: $S = d_1 + d_2 + d_3 = 4 + 4 + 20 = 28m$.

e) Khi nào vật tăng tốc và giảm tốc?

Vật tăng tốc khi gia tốc $a(t) > 0$ và giảm tốc khi $a(t) < 0$:

• Xét $a(t) = 0 \Leftrightarrow 6t - 12 = 0 \Leftrightarrow t = 2s$.

• Giảm tốc: Trong khoảng thời gian $t \in [0; 2)$, gia tốc $a(t) < 0$.

• Tăng tốc: Trong khoảng thời gian $t \in (2; 5]$, gia tốc $a(t) > 0$.

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Mối liên hệ: $v(t) = s'(t)$ và $a(t) = v'(t) = s''(t)$.

• Quãng đường và Vị trí: Tổng quãng đường đi được không giống với độ dời. Cần xét các điểm vật dừng lại ($v=0$) để chia đoạn tính giá trị tuyệt đối.

• Tính chất chuyển động: Gia tốc dương thể hiện vật đang tăng vận tốc theo chiều dương, gia tốc âm thể hiện sự giảm vận tốc.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Quên xét điểm dừng ở câu d: Nhiều bạn tính thẳng $s(5) - s(0) = 20m$, dẫn đến sai kết quả. Phải cộng dồn các đoạn chuyển động đi và lại.

• Nhầm lẫn đơn vị: Gia tốc phải là $m/s^2$, vận tốc là $m/s$.

• Sai sót khi đạo hàm: Nhầm lẫn các hệ số của đa thức bậc 3.

Mẹo giải nhanh

Để tính tổng quãng đường nhanh trên máy tính Casio:

Bạn có thể sử dụng tính năng tích phân trị tuyệt đối của vận tốc:

Cách này giúp bạn kiểm tra đáp án câu d chỉ trong 5 giây mà không cần chia đoạn thủ công!