Bài 9.2 trang 86 Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức: Tính đạo hàm của hàm số

Bài 9.2 trang 86 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Sử dụng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = kx² + c (với k, c là các hằng số);

b) y = x³.

Phân tích lý thuyết

Để tính đạo hàm của hàm số $y = f(x)$ tại một điểm $x_0$ bất kì bằng định nghĩa, chúng ta thực hiện theo các bước sau:

1. Thiết lập tỉ số: Lập biểu thức $\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$.

2. Rút gọn: Sử dụng các hằng đẳng thức hoặc biến đổi đại số để khử nhân tử $(x - x_0)$ ở mẫu số (khử dạng vô định $\frac{0}{0}$).

3. Tính giới hạn: Tìm giới hạn của biểu thức khi $x \to x_0$. Kết quả chính là đạo hàm $f'(x_0)$.

Giải bài 9.2 trang 86 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

a) Tính đạo hàm của hàm số $y = kx^2 + c$

Đặt $f(x) = kx^2 + c$. Với $x_0$ là một điểm bất kì thuộc tập xác định, ta có:

Thực hiện rút gọn hằng số $c$ và đặt nhân tử chung $k$:

Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương $x^2 - x_0^2 = (x - x_0)(x + x_0)$:

Thay $x = x_0$ vào biểu thức giới hạn:

Kết luận: Đạo hàm của hàm số $y = kx^2 + c$ là hàm số $y' = 2kx$.

b) Tính đạo hàm của hàm số $y = x^3$

Đặt $f(x) = x^3$. Với $x_0$ là một điểm bất kì thuộc tập xác định, ta có:

Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$:

Thay $x = x_0$ vào biểu thức giới hạn:

Kết luận: Đạo hàm của hàm số $y = x^3$ là hàm số $y' = 3x^2$.

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Đạo hàm của hằng số: Đạo hàm của $c$ luôn bằng $0$. Điều này giải thích tại sao trong câu (a), hằng số $c$ bị triệt tiêu hoàn toàn.

• Quy tắc lũy thừa: Kết quả trên phù hợp với công thức tổng quát $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.

• Kỹ năng quan trọng: Thành thạo các hằng đẳng thức đáng nhớ lớp 8 là chìa khóa để giải quyết nhanh các bài tập đạo hàm bằng định nghĩa.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

1. Quên ký hiệu $\lim$: Học sinh thường bỏ quên chữ $\lim$ trong quá trình biến đổi, dẫn đến sai sót về mặt trình bày toán học.

2. Sai hằng đẳng thức lập phương: Ở câu (b), nhiều bạn nhầm dấu trong ngoặc thành $(x^2 - xx_0 + x_0^2)$, dẫn đến kết quả sai. Hãy nhớ: Hiệu hai lập phương thì ngoặc thứ hai là "bình phương thiếu của một tổng".

3. Lúng túng với hằng số k: Coi $k$ như một biến số. Hãy nhớ $k$ là hằng số nên ta có thể đưa ra ngoài dấu giới hạn.