Bài 9.2 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức: Tính đạo hàm của hàm số bằng định nghĩa

Bài 9.2 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Sử dụng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = kx² + c (với k, c là các hằng số);

b) y = x³.

Phương pháp giải

Để tìm đạo hàm của hàm số $y = f(x)$ tại một điểm $x_0$ bất kỳ bằng định nghĩa, chúng ta thực hiện tính giới hạn sau:

Nếu giới hạn này tồn tại và hữu hạn, thì đó chính là giá trị đạo hàm của hàm số tại $x_0$.

Giải bài 9.2 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

a) Tính đạo hàm của hàm số $y = kx^2 + c$

Bước 1: Xét điểm $x_0$ bất kỳ thuộc tập xác định của hàm số. Đặt $f(x) = kx^2 + c$.

Bước 2: Lập tỉ số vi phân và tính giới hạn:

Bước 3: Đơn giản biểu thức tử số:

Bước 4: Phân tích hằng đẳng thức $x^2 - x_0^2 = (x - x_0)(x + x_0)$ để khử dạng vô định:

Bước 5: Thay $x = x_0$ vào giới hạn:

Kết luận: Đạo hàm của hàm số $y = kx^2 + c$ là hàm số $y' = 2kx$.

b) Tính đạo hàm của hàm số $y = x^3$

Bước 1: Xét điểm $x_0$ bất kỳ thuộc tập xác định. Đặt $f(x) = x^3$.

Bước 2: Áp dụng định nghĩa đạo hàm:

Bước 3: Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ để rút gọn:

Bước 4: Thay $x = x_0$ vào biểu thức:

Kết luận: Đạo hàm của hàm số $y = x^3$ là hàm số $y' = 3x^2$.

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Kỹ năng cốt lõi: Tính đạo hàm bằng định nghĩa thực chất là bài toán tính giới hạn dạng $\frac{0}{0}$.

• Hằng đẳng thức cần thuộc:

  • $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

  • $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

• Quy tắc tổng quát: Sau khi học xong bài này, các em sẽ nhận ra quy tắc đạo hàm của hàm đa thức $x^n$ chính là $n \cdot x^{n-1}$.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Sai sót khi khai triển: Đặc biệt ở câu a, học sinh thường quên triệt tiêu hằng số $c$ dẫn đến biểu thức bị rối.

• Nhầm lẫn hằng đẳng thức: Câu b yêu cầu dùng hiệu hai lập phương, tránh nhầm sang lập phương của một hiệu $(a-b)^3$.

Mẹo giải nhanh

Để kiểm tra kết quả tính bằng định nghĩa, các em hãy dùng quy tắc tính đạo hàm nhanh:

• Với $y = kx^2 + c \Rightarrow y' = k \cdot (2x) + 0 = 2kx$.

• Với $y = x^3 \Rightarrow y' = 3x^2$.

  Nếu kết quả tính bằng định nghĩa khớp với quy tắc nhanh, bạn đã làm đúng!