Bài 7.40 trang 65 Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 7.40 trang 65 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC = a và ∠CAB = 30^o. Biết SA ⊥ (ABC) và SA = a

a) Chứng minh rằng (SBC) ⊥ (SAB).

b) Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng SC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).

Kiến Thức Cần Nhớ

• Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc: Ta chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

• Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Là độ dài đoạn vuông góc kẻ từ điểm đó đến đường thẳng.

• Hệ thức lượng trong tam giác vuông: * $\frac{1}{h^2} = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}$ (với $h$ là đường cao).

  • Các tỉ số lượng giác: $\sin, \cos, \tan$.

Giải bài 7.40 trang 65 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Ta có hình minh hoạ như sau:

a) Do tam giác ABC vuông tại B nên AB ⊥ BC.

Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BC mà AB ⊥ BC nên BC ⊥ (SAB),

⇒ (SBC) ⊥ (SAB) (đpcm)

b) Kẻ AD ⊥ SC tại D. Khi đó d(A, SC) = AD.

Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ AC nên tam giác SAC vuông tại A.

Xét ΔABC vuông tại B, có:

$sin\widehat{CAB}=\frac{BC}{AC}$ $\Rightarrow AC=\frac{BC}{sin\widehat{CAB}}=\frac{a}{sin30^o}=2a$

Xét ΔSAC vuông tại A, AD là đường cao, có:

$\frac{1}{AD^2}=\frac{1}{SA^2}+\frac{1}{AC^2}$ $=\frac{1}{2a^2}+\frac{1}{4a^2}=\frac{3}{4a^2}$ $\Rightarrow AD=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$

Vậy $d(A,SC)=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$

Kẻ AE ⊥ SB tại E.

Vì BC ⊥ (SAB) nên BC ⊥ AE mà AE ⊥ SB nên AE ⊥ (SBC).

Khi đó d(A, (SBC)) = AE.

Xét tam giác ABC vuông tại B, có:

$AB=\frac{BC}{tan30^o}$ $=\frac{a}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=a\sqrt{3}$

Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ AB,

⇒ ΔSAB vuông tại A.

Xét ΔSAB vuông tại A, AE là đường cao, có: 

$\frac{1}{AE^2}=\frac{1}{SA^2}+\frac{1}{AB^2}$ $=\frac{1}{2a^2}+\frac{1}{3a^2}=\frac{5}{6a^2}$ $\Rightarrow AE=a\sqrt{\frac{6}{5}}$

Vậy $d(A,(SBC))=a\sqrt{\frac{6}{5}}$