Bài 9.27 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức: Tính giá trị biểu thức g(2)

Bài 9.27 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho hàm số f(x) = $\sqrt{3x+1}$ . Đặt g(x) = f(1) + 4(x² – 1).f'(1). Tính g(2).

Phương pháp giải

Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm $f'(x)$: Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp cho căn thức bậc hai $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$.

2. Tính các giá trị hằng số: Tính giá trị hàm số tại $1$ ($f(1)$) và giá trị đạo hàm tại $1$ ($f'(1)$).

3. Thay vào biểu thức $g(x)$: Thay các hằng số vừa tìm được vào biểu thức của $g(x)$.

4. Tính $g(2)$: Thay $x = 2$ vào hàm số $g(x)$ và tính toán kết quả cuối cùng.

Giải bài 9.27 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Bước 1: Tính đạo hàm $f'(x)$

Điều kiện xác định: $3x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > -\frac{1}{3}$.

Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp $(\sqrt{u})'$:

Bước 2: Tính giá trị $f(1)$ và $f'(1)$

• Giá trị hàm số tại $x = 1$:

  $$f(1) = \sqrt{3(1) + 1} = \sqrt{4} = 2$$

• Giá trị đạo hàm tại $x = 1$:

  $$f'(1) = \frac{3}{2\sqrt{3(1) + 1}} = \frac{3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4}$$

Bước 3: Thiết lập hàm số $g(x)$

Thay các giá trị $f(1) = 2$ và $f'(1) = \frac{3}{4}$ vào biểu thức đề bài cho:

Rút gọn biểu thức:

Bước 4: Tính giá trị $g(2)$

Thay $x = 2$ vào biểu thức $g(x)$:

Kết luận: Vậy giá trị cần tìm là $g(2) = 11$.

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Quy tắc đạo hàm căn thức: $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$. Đây là nền tảng quan trọng nhất của bài toán.

• Cấu trúc hàm số: Trong biểu thức $g(x)$, $f(1)$ và $f'(1)$ đóng vai trò là các hằng số, không phụ thuộc vào biến $x$.

• Thứ tự thực hiện: Luôn tính đạo hàm và các giá trị tại điểm $x_0$ trước khi xây dựng hàm số mới.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Quên nhân hệ số $u'$: Nhiều bạn tính $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{3x + 1}}$, thiếu mất hệ số $3$ ở tử số dẫn đến kết quả $f'(1) = \frac{1}{4}$ (Sai).

• Nhầm lẫn giữa $g(x)$ và $f(x)$: Một số học sinh thay $x = 2$ vào hàm số $f(x)$ thay vì hàm số $g(x)$.

• Lỗi tính toán cơ bản: Sai sót trong việc rút gọn $4 \cdot \frac{3}{4}$ hoặc tính toán trong ngoặc $(2^2 - 1)$.

Mẹo giải nhanh

Trong các bài trắc nghiệm, bạn không cần rút gọn $g(x)$ mà có thể tính trực tiếp:

1. Tính nhanh $f(1) = 2$ và $f'(1) = 0,75$.

2. Bấm máy tính biểu thức: $2 + 4(2^2 - 1) \cdot 0,75$.

   Kết quả hiện ra 11 ngay lập tức, giúp bạn tiết kiệm thời gian viết lách!