Bài 7.6 trang 36 Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 7.6 trang 36 Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA ⊥ (ABCD). Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp S.ABCD là các tam giác vuông.

Phân tích và Phương pháp giải

Để chứng minh một tam giác là tam giác vuông, ta cần chỉ ra tam giác đó có một góc bằng $90^\circ$ (hai cạnh vuông góc với nhau). Các kiến thức trọng tâm cần vận dụng bao gồm:

• Định nghĩa: Nếu $d \perp (P)$ thì $d$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$.

• Điều kiện chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng: Nếu đường thẳng $d$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng $(P)$ thì $d \perp (P)$.

• Tính chất hình chữ nhật: Các góc ở đỉnh của hình chữ nhật đều là góc vuông ($AB \perp BC, AD \perp CD$).

Giải bài 7.6 trang 36 Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức:

* Cần nhớ: - Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó. Định nghĩa đường thẳng vuông góc mặt phẳng.

Ta có hình minh họa như sau:

Ta có: BC ⊥ AB (vì ABCD là HCN)

 BC ⊥ SA (vì SA ⊥ (ABCD))

 AB ∩ SA = {A}

⇒ BC ⊥ (SAB) mà SB ⊂ (SAB)

⇒ BC ⊥ SB

Tương tự, ta có:

CD ⊥ AD (vì ABCD là HCN)

CD ⊥ SA (vì SA ⊥ (ABCD))

AD ∩ SA = {A}

⇒ CD ⊥ (SAD) mà SD ⊂ (SAD)

⇒ CD ⊥ SD

• Xét ΔSAB có: SA ⊥ AB (vì SA ⊥ (ABCD))

⇒ ΔSAB vuông tại A

• Xét ΔSBC có: SB ⊥ BC

⇒ ΔSBC vuông tại B

• Xét ΔSCD có: SD ⊥ CD

⇒ ΔSCD vuông tại C

• Xét ΔSAD có: SA ⊥ AD (vì SA ⊥ (ABCD))

⇒ ΔSAD vuông tại A

Vậy các mặt bên của hình chóp S.ABCD là các tam giác vuông.