Bài 6.40 trang 26 Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 6.40 trang 26 Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức:

Vào năm 1938, nhà vật lí Frank Benford đã đưa ra một phương pháp để xác định xem một bộ số đã được chọn ngẫu nhiên hay đã được chọn theo cách thủ công. Nếu bộ số này không được chọn ngẫu nhiên thì công thức Benford sau sẽ được dùng ước tính xác suất P để chữ số d là chữ số đầu tiên của bộ số đó: 

$P=log\frac{d+1}{d}$. (Theo F.Benford, The Law of Anomalous Numbers, Proc. Am. Philos. Soc. 78 (1938), 551 – 572).

Chẳng hạn, xác suất để chữ số đầu tiên là 9 bằng khoảng 4,6% (thay d = 9 trong công thức Benford để tính P).

a) Viết công thức tìm chữ số d nếu cho trước xác suất P.

b) Tìm chữ số có xác suất bằng 9,7% được chọn.

c) Tính xác suất để chữ số đầu tiên là 1.

Phân tích Phương pháp Giải

1. Phần a (Công thức nghịch đảo): Biến đổi phương trình logarit để cô lập $d$. Áp dụng định nghĩa $\log_{10} x = y \Leftrightarrow x = 10^y$.

2. Phần b (Tìm $d$): Thay $P$ (đổi sang dạng thập phân) vào công thức vừa tìm được ở phần (a) và làm tròn kết quả.

3. Phần c (Tìm $P$): Thay $d=1$ vào công thức gốc và tính giá trị logarit.

Giải bài 6.40 trang 26 Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức:

a) Viết công thức tìm chữ số d nếu cho trước xác suất P.

Ta có: $P=log\frac{d+1}{d}=log\left ( 1+\frac{1}{d} \right )$

$\Leftrightarrow 1+\frac{1}{d}=10^P\Leftrightarrow \frac{1}{d}=10^P-1$ $\Leftrightarrow d=\frac{1}{10^P-1}$

b) Tìm chữ số có xác suất bằng 9,7% được chọn.

Vì chữ số có xác suất bằng 9,7% nên P = 9,7% = 0,097, khi đó:

$d=\frac{1}{10^{0,097}-1}\approx 4$

Vậy chữ số có xác suất bằng 9,7% được chọn là chữ số 4.

c) Tính xác suất để chữ số đầu tiên là 1.

Chữ số đầu tiên là 1, tức là d = 1, khi đó ta có:

$P=log\frac{1+1}{1}=log2\approx 0,301=30,1%$

Vậy xác suất để chữ số đầu tiên là 1 bằng khoảng 30,1%.