Bài 6.35 trang 26 Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 6.35 trang 26 Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức:

Cho 0 < a ≠ 1. Tính giá trị của biểu thức:

$B=log_a\left ( \frac{a^2.\sqrt[3]{a}.\sqrt[5]{a^4}}{\sqrt[4]{a}} \right )+a^{2log_a\frac{\sqrt{105}}{30}}$

Phân tích Phương pháp Giải

Biểu thức $B$ gồm hai số hạng: $B = B_1 + B_2$.

1. Số hạng $B_1$ (Logarit):

   • Biến đổi tất cả căn thức về dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ: $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$.

   • Rút gọn biểu thức dưới dấu logarit thành $a^k$ bằng công thức $\frac{a^m \cdot a^n}{a^p} = a^{m+n-p}$.

   • Áp dụng $\log_a (a^k) = k$.

2. Số hạng $B_2$ (Lũy thừa):

   • Áp dụng $\mathbf{r \log_a x = \log_a (x^r)}$ để đưa số 2 vào trong logarit.

   • Áp dụng công thức mũ hóa logarit $\mathbf{a^{\log_a x} = x}$.

Giải bài 6.35 trang 26 Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức:

Ta có:

$B=log_a\left ( \frac{a^2.\sqrt[3]{a}.\sqrt[5]{a^4}}{\sqrt[4]{a}} \right )+a^{2log_a\frac{\sqrt{105}}{30}}$

$=log_a\left ( \frac{a^2.a^{\frac{1}{3}}.a^{\frac{4}{5}}}{a^{\frac{1}{4}}} \right )+\left (a^{log_a\frac{\sqrt{105}}{30}} \right )^2$

$=log_a^{2+\frac{1}{3}+\frac{4}{5}-\frac{1}{4}}+\left ( \frac{\sqrt{105}}{30} \right )^2$

$=log_aa^{\frac{173}{60}}+\frac{(\sqrt{105})^2}{30^2}$

$=\frac{173}{60}+\frac{105}{900}=3$