Bài 7.10 trang 41 Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 7.10 trang 41 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có A(1; 0), B(3; 2) và C(– 2; – 1). 

a) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC. 

b) Tính diện tích tam giác ABC. 

Phân tích và Phương pháp giải

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần thực hiện theo các bước tư duy sau:

• Xác định đường cao: Độ dài đường cao $h_A$ kẻ từ đỉnh $A$ chính là khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng chứa cạnh đối diện $BC$.

  • Công thức: $h_A = d(A, BC)$.

• Lập phương trình đường thẳng BC: 1. Tìm vectơ chỉ phương $\vec{BC}$.

  2. Suy ra vectơ pháp tuyến $\vec{n}$.

  3. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $BC$.

• Tính diện tích tam giác: Sử dụng công thức diện tích cơ bản:

  • $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot (\text{đường cao}) \cdot (\text{cạnh đáy tương ứng}) = \frac{1}{2} \cdot h_A \cdot BC$.

Giải bài 7.10 trang 41 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

a) Độ dài đường cao kẻ từ đỉnh của tam giác ABC chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC. 

Ta có: $\overrightarrow{BC}=(-2-3;-1-2)=(-5;-3)$

Chọn vectơ chỉ phương của đường thẳng BC là: $\overrightarrow{u}=-\overrightarrow{BC}=(5;3)$

Suy ra vectơ pháp tuyến của đường thẳng BC là $\overrightarrow{n}=(3;-5)$

Đường thẳng BC đi qua điểm B(3; 2) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(3;-5)$ do đó phương trình đường thẳng BC là:

3(x – 3) – 5(y – 2) = 0

⇔ 3x – 5y + 1 = 0. 

Khi đó khoảng cách từ A đến BC là: 

$d(A,BC)=\frac{|3.1-5.0+1}{\sqrt{3^2+5^2}}$ $=\frac{4}{\sqrt{34}}=\frac{2\sqrt{34}}{17}$

Vậy độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC là $h=\frac{2\sqrt{34}}{17}$

b) Ta có: $BC=|\overrightarrow{BC}|$ $=\sqrt{(-5)^2+(-3)^2}=\sqrt{34}$

Diện tích tam giác ABC là: 

$S=\frac{1}{2}h.BC$ $=\frac{1}{2}.\frac{2\sqrt{34}}{17}.\sqrt{34}=2\: (dvdt)$

Vậy diện tích tam giác ABC là 2 đvdt.