Bài 7.7 trang 41 Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 7.7 trang 41 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau: 

a) ∆₁: $3\sqrt{2}x+\sqrt{2}y-\sqrt{3}=0$ và ∆₂: 6x + 2y –  = 0. 

b) d₁: $x-\sqrt{3}y+2=0$ và d₂: $\sqrt{3}x-3y+2=0$

c) m₁: x – 2y + 1 = 0 và m₂: 3x + y – 2 = 0. 

Phân tích và Phương pháp giải

Để xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng $\Delta_1: a_1x + b_1y + c_1 = 0$ và $\Delta_2: a_2x + b_2y + c_2 = 0$, ta có hai phương pháp chính:

Phương pháp 1: Sử dụng vectơ pháp tuyến ($\vec{n}$)

• Nếu $\vec{n_1}$ và $\vec{n_2}$ không cùng phương: Hai đường thẳng cắt nhau.

• Nếu $\vec{n_1}$ và $\vec{n_2}$ cùng phương: Hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. Để phân biệt, ta lấy một điểm thuộc đường thẳng này và kiểm tra xem có thuộc đường thẳng kia hay không.

Phương pháp 2: Giải hệ phương trình

Xét hệ phương trình tạo bởi hai đường thẳng:

• Hệ có nghiệm duy nhất: Hai đường thẳng cắt nhau (nghiệm là tọa độ giao điểm).

• Hệ vô nghiệm: Hai đường thẳng song song.

• Hệ có vô số nghiệm: Hai đường thẳng trùng nhau.

Giải bài 7.7 trang 41 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

a) Đường thẳng ∆₁: $3\sqrt{2}x+\sqrt{2}y-\sqrt{3}=0$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}=\left ( 3\sqrt{2};\sqrt{2} \right )$

Đường thẳng ∆₂:6x + 2y – $\sqrt{6}$ = 0 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_2}=(6;2)$

Ta có: $\overrightarrow{n_1}=\frac{\sqrt{2}}{2}\overrightarrow{n}_2$ nên hai vectơ $\overrightarrow{n}_1$ và $\overrightarrow{n}_2$ cùng phương, do đó hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ song song hoặc trùng nhau. 

Mặt khác, điểm $A\left ( 0;\frac{\sqrt{6}}{2} \right )$ vừa thuộc ∆₁ vừa thuộc ∆₂. 

Vậy hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ trùng nhau. 

b) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d₁:$x-\sqrt{3}y+2=0$ là $\overrightarrow{n_1}=\left ( 1;-\sqrt{3} \right )$

và của d₂: $\sqrt{3}x-3y+2=0$ là $\overrightarrow{n_2}=\left ( \sqrt{3};-3 \right )$

Ta có: $\overrightarrow{n_2}=\sqrt{3}\: \overrightarrow{n_1}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ cùng phương, do đó hai đường thẳng d₁ và d₂ song song hoặc trùng nhau. 

Mặt khác, điểm B(– 2; 0) thuộc d₁ nhưng không thuộc d₂. 

Vậy hai đường thẳng d₁ và d₂ song song với nhau.

c) Xét hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x-2y+1=0\\ 3x+y-2=0 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x-6y+3=0\: \: \: (1)\\ 3x+y-2=0\: \: \: (2) \end{matrix}\right.$

Lấy (2) trừ vế theo vế cho (1) ta được: 7y – 5 = 0 ⇒ y = 5/7

Thay vào (1) ta được: $3x-6.\frac{5}{7}+3=0\Rightarrow x=\frac{3}{7}$

Do đó hệ trên có nghiệm duy nhất $\left ( \frac{3}{7};\frac{5}{7} \right )$

Vậy hai đường thẳng m₁ và m₂ cắt nhau tại điểm có tọa độ $\left ( \frac{3}{7};\frac{5}{7} \right )$