Bài 7.34 trang 58 Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 7.34 trang 58 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho đường tròn (C) có phương trình x² + y²– 4x + 6y – 12 = 0.

a) Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của (C).

b) Chứng minh rằng điểm M(5; 1) thuộc (C). Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại M.

Công thức Áp dụng

1. Dạng Tổng quát: $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$.

   • Tâm $I(a; b)$.

   • Bán kính $R = \sqrt{a^2 + b^2 - c}$ (Điều kiện: $a^2 + b^2 - c > 0$).

2. Phương trình tiếp tuyến tại $M$: Tiếp tuyến $d$ vuông góc với bán kính $IM$ tại $M$. Do đó, vectơ $\overrightarrow{IM}$ là vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ của tiếp tuyến $d$.

Giải bài 7.34 trang 58 Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức:

a) Ta có: x² + y² – 4x + 6y – 12 = 0 ⇔ x² + y² – 2 . 2 . x – 2 . (– 3) . y – 12 = 0. 

Có các hệ số: a = 2, b = – 3, c = – 12. 

Do đó, đường tròn (C) có tâm I(2; – 3) và bán kính là:

$R=\sqrt{2^2+(-3)^2-(-12)}=\sqrt{25}=5$

b) Vì 5² + 1²– 4 . 5 + 6 . 1 – 12 = 0 nên điểm M(5; 1) thuộc (C).

Tiếp tuyến d của (C) tại M có vectơ pháp tuyến là: 

$\overrightarrow{IM}=(5-2;1-(-3))=(3;4)$ và đi qua M(5; 1) nên có phương trình là:

3(x – 5) + 4(y – 1) = 0

⇔ 3x + 4y – 19 = 0.