Bài 8.24 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức

Bài 8.24 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất liên tiếp hai lần. Xét các biến cố sau:

A: “Ở lần gieo thứ nhất, số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là 1”;

B: “Ở lần gieo thứ hai, số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là 2”;

C: “Tổng số chấm xuất hiện trên con xúc xắc ở hai lần gieo là 8”;

D: “Tổng số chấm xuất hiện trên con xúc xắc ở hai lần gieo là 7”.

Chứng tỏ rằng các cặp biến cố A và C; B và C; C và D không độc lập.

Phương pháp giải

Để chứng minh hai biến cố $X$ và $Y$ không độc lập, ta cần chỉ ra rằng:

Trong đó $P(XY)$ là xác suất để cả hai biến cố $X$ và $Y$ cùng xảy ra đồng thời.

Giải bài 8.24 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Không gian mẫu khi gieo xúc xắc hai lần liên tiếp là: $n(\Omega) = 6 \cdot 6 = 36$.

Bước 1: Liệt kê các phần tử và tính xác suất từng biến cố

• Biến cố A: $A = \{(1, 1); (1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); (1, 6)\}$.

  $\Rightarrow n(A) = 6 \Rightarrow P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

• Biến cố B: $B = \{(1, 2); (2, 2); (3, 2); (4, 2); (5, 2); (6, 2)\}$.

  $\Rightarrow n(B) = 6 \Rightarrow P(B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

• Biến cố C: Các cặp $(x, y)$ sao cho $x + y = 8$: $C = \{(2, 6); (3, 5); (4, 4); (5, 3); (6, 2)\}$.

  $\Rightarrow n(C) = 5 \Rightarrow P(C) = \frac{5}{36}$.

• Biến cố D: Các cặp $(x, y)$ sao cho $x + y = 7$: $D = \{(1, 6); (2, 5); (3, 4); (4, 3); (5, 2); (6, 1)\}$.

  $\Rightarrow n(D) = 6 \Rightarrow P(D) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

Bước 2: Xét cặp biến cố A và C

• Ta thấy $A$ gồm các cặp có số đầu là 1. Để tổng bằng 8, số thứ hai phải là 7 (vô lý vì xúc xắc chỉ có tối đa 6 chấm).

• Vậy $AC = \emptyset \Rightarrow P(AC) = 0$.

• Tính tích: $P(A) \cdot P(C) = \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{36} = \frac{5}{216}$.

• Vì $P(AC) \neq P(A) \cdot P(C)$ nên A và C không độc lập.

Bước 3: Xét cặp biến cố B và C

• Biến cố giao $BC$ là cặp có số thứ hai là 2 và tổng bằng 8: $BC = \{(6, 2)\}$.

• $\Rightarrow n(BC) = 1 \Rightarrow P(BC) = \frac{1}{36}$.

• Tính tích: $P(B) \cdot P(C) = \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{36} = \frac{5}{216}$.

• Vì $P(BC) \neq P(B) \cdot P(C)$ nên B và C không độc lập.

Bước 4: Xét cặp biến cố C và D

• Biến cố $C$ có tổng bằng 8, biến cố $D$ có tổng bằng 7. Một lần gieo không thể có hai tổng khác nhau cùng lúc.

• Vậy $CD = \emptyset \Rightarrow P(CD) = 0$.

• Tính tích: $P(C) \cdot P(D) = \frac{5}{36} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{216}$.

• Vì $P(CD) \neq P(C) \cdot P(D)$ nên C và D không độc lập.

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Định nghĩa biến cố độc lập: Hai biến cố được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia.

• Công thức kiểm tra: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. Nếu đẳng thức không xảy ra, chúng là biến cố phụ thuộc (không độc lập).

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm lẫn giữa độc lập và xung khắc: Biến cố $AC = \emptyset$ (xung khắc) nhưng lại kết luận chúng độc lập. Thực tế, nếu hai biến cố xung khắc (và có xác suất dương) thì chúng luôn luôn phụ thuộc nhau.

• Đếm thiếu phần tử của C: Nhiều bạn quên cặp $(6, 2)$ hoặc $(2, 6)$ dẫn đến tính sai $n(C)$.

Mẹo giải nhanh

Trong các bài toán gieo xúc xắc, hãy luôn vẽ nháp bảng $6 \times 6$.

1. Tổng bằng 7: Luôn nằm trên đường chéo phụ dài nhất (6 phần tử).

2. Tổng bằng 8: Nằm trên đường chéo song song với đường chéo tổng bằng 7 (5 phần tử).

   Việc quan sát trực quan trên bảng giúp bạn xác định các biến cố giao ($AC, BC, CD$) chỉ trong vài giây!