Bài 9.6 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức

Bài 9.6 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = x³ – 3x² + 2x + 1;

b) y = x² – 4$\sqrt{x}$ + 3.

Phương pháp giải

Để giải bài toán này, chúng ta áp dụng các quy tắc tính đạo hàm cơ bản sau đây:

1. Đạo hàm của một tổng/hiệu: $(u \pm v)' = u' \pm v'$.

2. Đạo hàm của hàm lũy thừa: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ (với $n \in \mathbb{N}, n > 1$).

3. Đạo hàm của căn bậc hai: $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ (với $x > 0$).

4. Đạo hàm của hằng số và $x$: $(c)' = 0$ và $(x)' = 1$.

Giải bài 9.6 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

a) Tính đạo hàm hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2x + 1$

Áp dụng quy tắc đạo hàm của tổng và hiệu các hàm số:

Kết luận: Đạo hàm của hàm số là $y' = 3x^2 - 6x + 2$.

b) Tính đạo hàm hàm số $y = x^2 - 4\sqrt{x} + 3$

Điều kiện xác định: $x > 0$ (để tồn tại đạo hàm của hàm số chứa căn thức $\sqrt{x}$ ở mẫu số sau khi lấy đạo hàm).

Áp dụng quy tắc tính đạo hàm:

Kết luận: Với $x > 0$, đạo hàm của hàm số là $y' = 2x - \frac{2}{\sqrt{x}}$.

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Quy tắc "Hạ bậc": Khi lấy đạo hàm của $x^n$, số mũ hạ xuống làm hệ số và số mũ mới giảm đi 1 đơn vị.

• Hằng số đi kèm: Khi tính đạo hàm của $k \cdot u(x)$, ta giữ nguyên hằng số $k$ và chỉ tính đạo hàm của $u(x)$.

• Đạo hàm của hằng số tự do: Luôn bằng $0$. Đừng nhầm lẫn giữa $(2x)' = 2$ và $(2)' = 0$.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Sai dấu khi tính toán: Đặc biệt là khi hàm số có nhiều dấu trừ liên tiếp.

• Quên đạo hàm hằng số: Nhiều bạn vẫn giữ nguyên số $1$ hoặc $3$ ở cuối biểu thức thay vì triệt tiêu về $0$.

• Lỗi tính đạo hàm căn thức: Nhầm lẫn $(\sqrt{x})'$ thành $2\sqrt{x}$ hoặc các biểu thức khác. Hãy luôn nhớ công thức có số $2$ ở dưới mẫu.

Mẹo giải nhanh

Để kiểm tra kết quả, các em có thể nhẩm nhanh theo quy tắc: "Đạo hàm bậc $n$ sẽ ra bậc $n-1$".

• Câu a: Hàm bậc 3 $\to$ Kết quả phải là hàm bậc 2. (Chính xác)

• Câu b: Có căn bậc hai $\to$ Kết quả phải có căn ở mẫu. (Chính xác)