Bài 9.4 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức

Bài 9.4 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Một vật được phóng theo phương thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu là 19,6 m/s thì độ cao h của nó (tính bằng mét) sau t giây được cho bởi công thức h = 19,6t – 4,9t². Tìm vận tốc của vật khi nó chạm đất.

Phương pháp giải

Để giải bài toán này, chúng ta cần nắm vững hai kiến thức cốt lõi:

1. Ý nghĩa vật lý của đạo hàm: Vận tốc tức thời $v(t)$ của chuyển động tại thời điểm $t$ chính là đạo hàm của hàm số quãng đường (hoặc độ cao) theo thời gian: $v(t) = h'(t)$.

2. Thời điểm chạm đất: Vật chạm đất khi độ cao $h(t) = 0$.

Giải bài 9.4 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số độ cao (Tìm công thức vận tốc)

Đặt $h(t) = f(t) = 19,6t - 4,9t^2$.

Sử dụng định nghĩa đạo hàm tại thời điểm $t_0$ bất kỳ:

Vậy hàm vận tốc của vật là: $v(t) = h'(t) = -9,8t + 19,6$ (m/s).

Bước 2: Tìm thời điểm vật chạm đất

Vật chạm đất khi và chỉ khi độ cao $h = 0$. Ta có phương trình:

• $t = 0$: Thời điểm vật bắt đầu được phóng đi.

• $t = 4$: Thời điểm vật chạm đất sau khi bay lên và rơi xuống.

Bước 3: Tính vận tốc tại thời điểm chạm đất

Thay $t = 4$ vào công thức vận tốc đã tìm được ở Bước 1:

Kết luận: Vận tốc của vật khi nó chạm đất là $-19,6$ m/s. (Dấu âm thể hiện vật đang chuyển động ngược chiều với chiều dương ban đầu - tức là đang rơi xuống).

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Công thức cần thuộc: $v(t) = s'(t)$ hoặc $v(t) = h'(t)$.

• Đặc điểm chuyển động: Trong bài toán ném đứng không lực cản, vận tốc lúc chạm đất sẽ có độ lớn bằng vận tốc ban đầu nhưng ngược hướng.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm lẫn giữa $t=0$ và $t=4$: Nhiều bạn tính ra hai nghiệm nhưng không biết chọn nghiệm nào để tính vận tốc chạm đất. Hãy nhớ $t=0$ là lúc bắt đầu.

• Sai sót khi tính giới hạn: Việc phân tích nhân tử ở tử số thường dễ nhầm dấu, đặc biệt là với hệ số tự do $-4,9$.

• Bỏ qua đơn vị: Vận tốc phải có đơn vị là m/s, thời gian là giây (s).

Mẹo giải nhanh

Trong các đề thi trắc nghiệm, các em có thể dùng quy tắc tính đạo hàm nhanh:

$h(t) = at^2 + bt + c \Rightarrow v(t) = 2at + b$.

Áp dụng: $h(t) = -4,9t^2 + 19,6t \Rightarrow v(t) = -9,8t + 19,6$.

Chỉ mất vài giây để tìm ra hàm vận tốc thay vì tính giới hạn dài dòng!