Bài 9.3 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức: Viết phương trình tiếp tuyến của Parabol

Bài 9.3 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

 Viết phương trình tiếp tuyến của parabol y = –x² + 4x, biết:

a) Tiếp điểm có hoành độ x₀ = 1;

b) Tiếp điểm có tung độ y₀ = 0.

Phương pháp giải

Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại tiếp điểm $M(x_0; y_0)$, chúng ta thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm $f'(x)$ của hàm số.

2. Tìm tọa độ tiếp điểm $(x_0; y_0)$. Nếu đề bài thiếu $x_0$ hoặc $y_0$, ta dựa vào công thức hàm số để tìm giá trị còn lại.

3. Tính hệ số góc của tiếp tuyến: $k = f'(x_0)$.

4. Lập phương trình tiếp tuyến theo công thức:

   $$y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$$

Giải bài 9.3 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Đặt $y = f(x) = -x^2 + 4x$.

Bước 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa (hoặc quy tắc)

Với $x_0$ bất kì, ta tính đạo hàm tại $x_0$:

Vậy hàm số có đạo hàm là: $y' = -2x + 4$.

a) Tiếp điểm có hoành độ $x_0 = 1$

• Tìm tung độ tiếp điểm: $y_0 = f(1) = -1^2 + 4(1) = 3$. Ta có tiếp điểm $M(1; 3)$.

• Tính hệ số góc: $f'(1) = -2(1) + 4 = 2$.

• Phương trình tiếp tuyến:

  $$y - 3 = 2(x - 1)$$
  $$y = 2x - 2 + 3 \Rightarrow \mathbf{y = 2x + 1}$$

b) Tiếp điểm có tung độ $y_0 = 0$

• Tìm hoành độ tiếp điểm: Ta giải phương trình $f(x_0) = 0$:

  $$-x_0^2 + 4x_0 = 0 \Leftrightarrow x_0(-x_0 + 4) = 0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x_0 = 0 \\ x_0 = 4 \end{bmatrix}$$

  Vậy có hai tiếp điểm là $M_1(0; 0)$ và $M_2(4; 0)$.

• Trường hợp 1: Tại tiếp điểm $M_1(0; 0)$

  • Hệ số góc: $f'(0) = -2(0) + 4 = 4$.

  • Phương trình tiếp tuyến: $y - 0 = 4(x - 0) \Rightarrow \mathbf{y = 4x}$.

• Trường hợp 2: Tại tiếp điểm $M_2(4; 0)$

  • Hệ số góc: $f'(4) = -2(4) + 4 = -4$.

  • Phương trình tiếp tuyến: $y - 0 = -4(x - 4) \Rightarrow \mathbf{y = -4x + 16}$.

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Công thức phương trình tiếp tuyến: $y = f'(x_0)(x - x_0) + y_0$.

• Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm tại một điểm chính là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm đó.

• Lưu ý: Một tung độ có thể tương ứng với nhiều hoành độ tiếp điểm khác nhau (như trường hợp b), dẫn đến có nhiều phương trình tiếp tuyến.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm dấu khi tính $y_0$: Đặc biệt là dấu trừ trước $x^2$. Nhớ rằng $-x^2$ là $-(x^2)$, không phải $(-x)^2$.

• Quên công thức tiếp tuyến: Nhầm lẫn giữa dấu cộng và dấu trừ trong biểu thức $y - y_0 = k(x - x_0)$.

• Thiếu trường hợp: Ở câu b, nhiều học sinh chỉ tìm ra một giá trị $x_0$ mà quên mất nghiệm còn lại của phương trình bậc hai.

Mẹo giải nhanh

Để kiểm tra nhanh đạo hàm mà không cần dùng định nghĩa, các em sử dụng quy tắc: $(ax^2 + bx + c)' = 2ax + b$.

Áp dụng: $(-x^2 + 4x)' = -2x + 4$. (Rất nhanh và chính xác!)