Bài 9.16 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức: Chứng minh bất đẳng thức đạo hàm cấp hai |f''(x)| ≤ 4

Bài 9.16 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho hàm số $f(x)=2sin^2(x+\frac{\pi}{4})$ . Chứng minh rằng |f''(x)| ≤ 4 với mọi x.

Phương pháp giải

Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm cấp một $f'(x)$: Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.

2. Rút gọn $f'(x)$: Sử dụng công thức nhân đôi $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$ để đơn giản hóa biểu thức trước khi tính đạo hàm cấp tiếp theo.

3. Tính đạo hàm cấp hai $f''(x)$: Lấy đạo hàm của $f'(x)$.

4. Đánh giá giá trị: Sử dụng tính chất của hàm số lượng giác: $-1 \leq \cos \alpha \leq 1$.

Giải bài 9.16 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Bước 1: Tính đạo hàm cấp một $f'(x)$

Ta có hàm số $f(x) = 2u^2$ với $u = \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$.

Áp dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp:

Sử dụng công thức nhân đôi $2\sin A \cos A = \sin 2A$:

Bước 2: Tính đạo hàm cấp hai $f''(x)$

Lấy đạo hàm của biểu thức $f'(x)$ vừa tìm được:

Bước 3: Chứng minh bất đẳng thức

Với mọi giá trị của $x$, ta luôn có tính chất cơ bản của hàm số cosin:

Nhân cả ba vế với 4 (vì $4 > 0$ nên chiều bất đẳng thức không đổi):

Hay:

Theo định nghĩa về giá trị tuyệt đối, điều này tương đương với:

Vậy ta đã chứng minh được $|f''(x)| \leq 4$ với mọi $x$.

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Đạo hàm hàm hợp: Luôn nhớ nhân thêm $u'$ khi tính đạo hàm của $\sin u$ hoặc $\cos u$.

• Công thức nhân đôi: Việc rút gọn biểu thức bằng $\sin 2\alpha$ giúp việc tính đạo hàm cấp hai trở nên đơn giản hơn nhiều.

• Đánh giá hàm lượng giác: Trị tuyệt đối của hàm $\sin$ và $\cos$ không bao giờ vượt quá 1.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Tính đạo hàm cấp hai trực tiếp từ tích: Nhiều bạn không rút gọn $f'(x)$ mà dùng quy tắc $(uv)'$ để tính $f''(x)$. Cách này vẫn ra kết quả nhưng rất dễ nhầm lẫn dấu và mất thời gian.

• Quên hệ số từ $u'$: Khi tính đạo hàm của $\sin(2x + \pi/2)$, học sinh thường quên đưa số 2 ra ngoài, dẫn đến kết quả $|f''(x)| \leq 2$ (sai).

• Nhầm lẫn giữa các bậc đạo hàm: Đề bài hỏi $f''(x)$ nhưng đôi khi học sinh dừng lại ở $f'(x)$ và đánh giá $|f'(x)| \leq 2$.

Mẹo giải nhanh

Đối với các hàm số có dạng $y = a \cdot \sin^2(bx + c)$, đạo hàm cấp hai sẽ luôn có trị tuyệt đối cực đại là:

Áp dụng vào bài: $a = 2, b = 1 \Rightarrow |y''|_{max} = 2 \cdot 2 \cdot 1^2 = 4$.

Công thức này giúp các em kiểm tra nhanh kết quả trong các bài tập trắc nghiệm!