Bài 9.26 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức: Đạo hàm của hàm số lũy thừa

Bài 9.26 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

 Xét hàm số lũy thừa y = x^α với α là số thực.

a) Tìm tập xác định của hàm số đã cho.

b) Bằng cách viết y = x^α = e^αlnx, tính đạo hàm của hàm số đã cho.

Giải bài 9.26 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

a) Tập xác định của hàm số lũy thừa $y = x^{\alpha}$

Tập xác định của hàm số lũy thừa phụ thuộc rất lớn vào giá trị của số mũ $\alpha$. Cụ thể như sau:

• Trường hợp 1: Nếu $\alpha$ là số nguyên dương ($\alpha \in \mathbb{Z}^+$), tập xác định là $D = \mathbb{R}$.

• Trường hợp 2: Nếu $\alpha$ là số nguyên âm hoặc $\alpha = 0$ ($\alpha \in \{0, -1, -2, ...\}$), tập xác định là $D = \mathbb{R} \setminus \{0\}$.

• Trường hợp 3: Nếu $\alpha$ không phải là số nguyên ($\alpha \notin \mathbb{Z}$), tập xác định là $D = (0; +\infty)$.

b) Chứng minh công thức đạo hàm $y' = \alpha x^{\alpha-1}$

Để tính đạo hàm của hàm số lũy thừa $y = x^{\alpha}$ với $x > 0$, ta sử dụng phương pháp chuyển đổi về hàm số mũ cơ số $e$.

Bước 1: Chuyển đổi biểu thức

Ta có công thức biến đổi: $x^{\alpha} = e^{\ln(x^{\alpha})} = e^{\alpha \ln x}$.

Bước 2: Tính đạo hàm hàm hợp

Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp $(e^u)' = u' \cdot e^u$, với $u = \alpha \ln x$.

Bước 3: Thực hiện đạo hàm và rút gọn

Vì $\alpha$ là hằng số, ta có $(\alpha \ln x)' = \alpha \cdot \frac{1}{x} = \frac{\alpha}{x}$.

Thay trở lại biểu thức, đồng thời thay $e^{\alpha \ln x}$ bằng $x^{\alpha}$:

Kết luận: Đạo hàm của hàm số $y = x^{\alpha}$ là $y' = \alpha x^{\alpha-1}$.

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Tập xác định: Cần lưu ý điều kiện $x > 0$ khi số mũ không nguyên để hàm số luôn có nghĩa.

• Công thức đạo hàm: Công thức $(x^{\alpha})' = \alpha x^{\alpha-1}$ áp dụng cho mọi $\alpha \in \mathbb{R}$ với $x > 0$.

• Kỹ thuật biến đổi: Việc đưa về cơ số $e$ ($x^{\alpha} = e^{\alpha \ln x}$) là một kỹ thuật mạnh mẽ để tính đạo hàm của các hàm số dạng lũy thừa phức tạp.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm lẫn tập xác định: Nhiều bạn cho rằng $y = x^{1/2}$ (tức $\sqrt{x}$) có tập xác định là $[0; +\infty)$. Tuy nhiên, theo định nghĩa hàm số lũy thừa với số mũ không nguyên, tập xác định phải là $(0; +\infty)$.

• Quên điều kiện $x > 0$: Khi tính đạo hàm bằng cách đưa về hàm lôgarit ($\ln x$), điều kiện bắt buộc là cơ số $x$ phải dương.

• Sai sót khi lũy thừa: Khi thực hiện $\frac{x^{\alpha}}{x}$, học sinh hay quên trừ số mũ dẫn đến kết quả sai.

Mẹo ghi nhớ

Để nhớ tập xác định, hãy nhớ quy tắc "Bậc thang":

1. Nguyên dương: Thoải mái nhất ($\mathbb{R}$).

2. Nguyên âm/không: Trừ điểm chết ($x \neq 0$).

3. Số lẻ/phân số: Khắt khe nhất ($x > 0$).