Bài 9.11 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức

Bài 9.11 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Một vật chuyển động rơi tự do có phương trình h(t) = 100 – 4,9t², ở đó độ cao h so với mặt đất tính bằng mét và thời gian t tính bằng giây. Tính vận tốc của vật:

a) Tại thời điểm t = 5 giây;

b) Khi vật chạm đất.

Phân tích bài toán

• Mối liên hệ giữa vận tốc và quãng đường: Vận tốc tức thời $v(t)$ tại thời điểm $t$ chính là đạo hàm của hàm số độ cao theo thời gian: $v(t) = h'(t)$.

• Thời điểm chạm đất: Vật chạm đất khi độ cao $h(t) = 0$.

Giải bài 9.11 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Bước 1: Tìm công thức vận tốc tức thời

Ta có hàm số độ cao $h(t) = 100 - 4,9t^2$.

Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm $t$ là đạo hàm của $h(t)$:

a) Vận tốc tại thời điểm $t = 5$ giây

Thay $t = 5$ vào công thức vận tốc vừa tìm được:

Kết luận: Vận tốc của vật tại thời điểm $t = 5$ giây là $49$ m/s (dấu âm chỉ hướng chuyển động xuống dưới).

b) Vận tốc khi vật chạm đất

Bước 2: Tìm thời điểm vật chạm đất

Vật chạm đất khi $h(t) = 0$, ta có phương trình:

Bước 3: Tính vận tốc tại thời điểm này

Thay $t = \frac{10\sqrt{10}}{7}$ vào công thức $v(t) = -9,8t$:

Kết luận: Vận tốc của vật khi chạm đất xấp xỉ $44,27$ m/s.

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Ý nghĩa đạo hàm: Đạo hàm của độ cao (hoặc quãng đường) theo thời gian là vận tốc tức thời.

• Dấu của vận tốc: Trong bài toán này, nếu chọn chiều dương hướng lên trên thì vận tốc rơi tự do sẽ có giá trị âm vì vật đang chuyển động ngược chiều dương.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm lẫn giữa vận tốc và độ cao: Nhiều bạn thay $t=5$ vào phương trình $h(t)$ thay vì phương trình $v(t)$.

• Lỗi tính toán căn thức: Khi giải $t^2$, hãy để kết quả ở dạng phân số hoặc căn thức rút gọn để kết quả cuối cùng chính xác nhất.

• Quên đơn vị: Luôn nhớ ghi đơn vị m/s cho vận tốc và s cho thời gian.

Mẹo giải nhanh

Trong các bài thi trắc nghiệm, với phương trình rơi tự do dạng $h(t) = H_0 - \frac{1}{2}gt^2$:

1. Vận tốc luôn là $v(t) = -gt$.

2. Thời gian rơi là $t = \sqrt{\frac{2H_0}{g}}$.

   Áp dụng: $t = \sqrt{\frac{200}{9,8}} = \sqrt{\frac{1000}{49}} = \frac{10\sqrt{10}}{7}$. Bạn có thể ra ngay kết quả mà không cần trình bày dài dòng!