Bài 8.6 trang 75 Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức: Xác suất thực hiện phép thử nhiều công đoạn

Bài 8.6 trang 75 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Một hộp đựng 8 viên bi màu xanh và 6 viên bi màu đỏ, có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp (lấy xong không trả lại vào hộp). Tiếp đó đến lượt bạn Tùng lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp đó. Tính xác suất để bạn Tùng lấy được viên bi màu xanh.

Phân tích lý thuyết

Đây là bài toán xác suất của một phép thử gồm nhiều công đoạn liên tiếp và có tính phụ thuộc (lấy không hoàn lại). Để tính xác suất bạn Tùng lấy được bi xanh, ta cần chia thành hai trường hợp xung khắc dựa trên kết quả lấy bi của bạn Sơn:

1. Trường hợp 1: Sơn lấy được bi xanh VÀ Tùng lấy được bi xanh.

2. Trường hợp 2: Sơn lấy được bi đỏ VÀ Tùng lấy được bi xanh.

Xác suất cần tìm chính là tổng xác suất của hai trường hợp này.

Giải bài 8.6 trang 75 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

1. Xác định không gian mẫu $\Omega$

Tổng số bi trong hộp ban đầu là: $8 + 6 = 14$ (viên).

Phép thử diễn ra qua hai công đoạn:

• Công đoạn 1 (Bạn Sơn lấy): Có $C_{14}^1 = 14$ cách chọn.

• Công đoạn 2 (Bạn Tùng lấy): Vì bạn Sơn không trả lại bi nên hộp còn lại 13 viên. Có $C_{13}^1 = 13$ cách chọn.

  Số phần tử của không gian mẫu là:

  $$n(\Omega) = 14 \times 13 = 182$$

2. Tính xác suất các biến cố thành phần

Gọi $A$ là biến cố: “Bạn Sơn lấy được bi xanh, bạn Tùng lấy được bi xanh”.

Gọi $B$ là biến cố: “Bạn Sơn lấy được bi đỏ, bạn Tùng lấy được bi xanh”.

• Xét biến cố $A$:

  • Bạn Sơn lấy 1 bi xanh từ 8 bi xanh: Có 8 cách.

  • Bạn Tùng lấy 1 bi xanh từ 7 bi xanh còn lại: Có 7 cách.

  • $n(A) = 8 \times 7 = 56$. Suy ra $P(A) = \frac{56}{182} = \frac{4}{13}$.

• Xét biến cố $B$:

  • Bạn Sơn lấy 1 bi đỏ từ 6 bi đỏ: Có 6 cách.

  • Bạn Tùng lấy 1 bi xanh từ 8 bi xanh (vẫn còn nguyên): Có 8 cách.

  • $n(B) = 6 \times 8 = 48$. Suy ra $P(B) = \frac{48}{182} = \frac{24}{91}$.

3. Tính xác suất bạn Tùng lấy được bi xanh

Biến cố "Bạn Tùng lấy được bi xanh" là biến cố hợp $A \cup B$. Vì $A$ và $B$ là hai biến cố xung khắc (không thể vừa xảy ra $A$ vừa xảy ra $B$), ta áp dụng công thức cộng xác suất:

Kết luận: Xác suất để bạn Tùng lấy được viên bi màu xanh là $4/7$.

Tổng kết kiến thức

• Quy tắc nhân: Dùng khi phép thử gồm các công đoạn liên tiếp.

• Quy tắc cộng: Dùng khi chia bài toán thành các trường hợp tách biệt (xung khắc).

• Lấy không hoàn lại: Luôn nhớ giảm tổng số phần tử ở công đoạn sau.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

1. Quên giảm số bi: Lỗi phổ biến nhất là vẫn để mẫu số là 14 cho lượt lấy của bạn Tùng.

2. Thiếu trường hợp: Chỉ tính trường hợp Sơn lấy xanh - Tùng lấy xanh mà quên mất trường hợp Sơn lấy đỏ - Tùng cũng có thể lấy xanh.

3. Nhầm lẫn xác suất: Nhầm lẫn giữa số cách chọn ($n$) và xác suất ($P$). Hãy đảm bảo bạn chia cho số phần tử không gian mẫu ở bước cuối cùng.

Mẹo giải nhanh

Trong các bài toán lấy bi liên tiếp như thế này, nếu không có thông tin gì về việc người thứ nhất lấy được bi màu gì, thì xác suất người thứ hai lấy được bi màu xanh luôn bằng xác suất người thứ nhất lấy được bi màu xanh ngay từ đầu.

• $P(\text{Sơn lấy xanh}) = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$.

• Kết quả $P(\text{Tùng lấy xanh})$ cũng sẽ là $4/7$. Đây là một tính chất thú vị của xác suất mà bạn có thể dùng để kiểm tra nhanh đáp án!