Bài 9.14 trang 96 Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức: Đạo hàm cấp hai

Bài 9.14 trang 96 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) y = ln(x + 1);

b) y = tan2x.

Phân tích lý thuyết

Để tính đạo hàm cấp hai $y''$, chúng ta thực hiện theo quy tắc: tính đạo hàm cấp một $y'$, sau đó tiếp tục đạo hàm kết quả đó một lần nữa. Các công thức cần nhớ bao gồm:

• Đạo hàm hàm hợp Logarit: $[\ln u]' = \frac{u'}{u}$

• Đạo hàm hàm phân thức: $(\frac{1}{v})' = -\frac{v'}{v^2}$

• Đạo hàm hàm lượng giác: $(\tan u)' = \frac{u'}{\cos^2 u}$

• Đạo hàm hàm lũy thừa: $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$

Giải bài 9.14 trang 96 Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

a) Tính đạo hàm cấp hai của $y = \ln(x + 1)$

Bước 1: Tính đạo hàm cấp một $y'$

Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp $\ln u$ với $u = x + 1$:

Bước 2: Tính đạo hàm cấp hai $y''$

Áp dụng công thức $(\frac{1}{v})' = -\frac{v'}{v^2}$ với $v = x + 1$:

Kết luận: Vậy $y'' = \frac{-1}{(x + 1)^2}$.

b) Tính đạo hàm cấp hai của $y = \tan 2x$

Bước 1: Tính đạo hàm cấp một $y'$

Áp dụng công thức $(\tan u)'$ với $u = 2x$:

Bước 2: Tính đạo hàm cấp hai $y''$

Ta coi $y'$ là hàm phân thức dạng $\frac{2}{v}$ với $v = \cos^2 2x$. Áp dụng công thức đạo hàm:

Tính riêng $(\cos^2 2x)'$:

Áp dụng quy tắc $(u^2)' = 2u \cdot u'$:

Thay vào biểu thức $y''$:

Rút gọn $\cos 2x$ ở tử và mẫu:

Kết luận: Vậy $y'' = \frac{8\sin 2x}{\cos^3 2x}$.

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Kỹ năng rút gọn: Trong đạo hàm lượng giác cấp cao, việc rút gọn các nhân tử chung (như $\cos 2x$ ở câu b) là cực kỳ quan trọng để thu được kết quả tối giản.

• Sử dụng hằng đẳng thức: Đôi khi bạn có thể biến đổi tử số $8\sin 2x \cos 2x$ thành $4\sin 4x$ để biểu thức gọn hơn, tuy nhiên kết quả trên vẫn là chính xác nhất theo yêu cầu biến số $2x$.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

1. Quên đạo hàm hàm hợp: Khi tính $(\tan 2x)'$, nhiều bạn quên nhân thêm $(2x)' = 2$, dẫn đến sai hệ số ở tử số.

2. Sai dấu khi đạo hàm hàm Cos: Hãy nhớ $(\cos u)' = -u' \sin u$. Việc thiếu dấu trừ sẽ làm sai lệch hoàn toàn kết quả đạo hàm cấp hai.

3. Lúng túng khi đạo hàm mẫu số bậc cao: Khi tính $(\cos^2 2x)'$, học sinh thường quên quy tắc $(u^n)'$, dẫn đến việc chỉ đạo hàm phần $\cos$ mà bỏ qua số mũ.