Bài 9.14 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức: Tính đạo hàm cấp hai

Bài 9.14 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) y = ln(x + 1);

b) y = tan2x.

Phương pháp giải

Để tính đạo hàm cấp hai $y''$, chúng ta thực hiện theo hai bước:

1. Bước 1: Tính đạo hàm cấp một $y'$ bằng các quy tắc đạo hàm hàm hợp $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$ và $(\tan u)' = \frac{u'}{\cos^2 u}$.

2. Bước 2: Tiếp tục lấy đạo hàm của biểu thức $y'$ vừa tìm được: $y'' = (y')'$. Sử dụng công thức đạo hàm thương $\left(\frac{1}{u}\right)' = -\frac{u'}{u^2}$ hoặc đạo hàm hàm lũy thừa hợp.

Giải bài 9.14 SGK Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức:

a) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \ln(x + 1)$

Điều kiện xác định: $x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > -1$.

Bước 1: Tính đạo hàm cấp một $y'$

Áp dụng công thức đạo hàm hàm lôgarit hợp:

Bước 2: Tính đạo hàm cấp hai $y''$

Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm số $y = \frac{1}{u}$:

Kết luận: Đạo hàm cấp hai là $y'' = \frac{-1}{(x + 1)^2}$.

b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \tan 2x$

Điều kiện xác định: $2x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \Leftrightarrow x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \, (k \in \mathbb{Z})$.

Bước 1: Tính đạo hàm cấp một $y'$

Áp dụng công thức đạo hàm hàm lượng giác hợp:

Bước 2: Tính đạo hàm cấp hai $y''$

Ta có $y' = 2 \cdot (\cos 2x)^{-2}$. Áp dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$:

(vì $(\cos 2x)' = -2 \sin 2x$)

Kết luận: Đạo hàm cấp hai là $y'' = \frac{8 \sin 2x}{\cos^3 2x}$.

Tổng kết kiến thức cần nhớ

• Công thức đạo hàm cấp cao: Đạo hàm cấp $n$ là đạo hàm của đạo hàm cấp $n-1$.

• Đạo hàm lượng giác: Luôn nhớ nhân thêm hệ số $u'$ khi biến số không phải là $x$ đơn thuần.

• Biến đổi phân thức: Đối với câu b, việc rút gọn $\cos 2x$ ở tử và mẫu giúp biểu thức cuối cùng gọn gàng hơn.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Quên hệ số $2$: Rất nhiều học sinh khi tính $(\tan 2x)'$ chỉ viết $\frac{1}{\cos^2 2x}$, thiếu mất đạo hàm của $2x$.

• Sai dấu: Nhầm lẫn dấu trừ trong đạo hàm của hàm số $\cos$ và đạo hàm của hàm phân thức $\frac{1}{u}$.

• Sơ suất lũy thừa: Khi lấy đạo hàm mẫu số $\cos^2 2x$, cần nhớ đây là đạo hàm hàm hợp dạng $u^2$.

Mẹo giải nhanh

Đối với các bài toán trắc nghiệm tính đạo hàm cấp hai của hàm số lượng giác, các em có thể sử dụng công thức nhân đôi để rút gọn tử số ngay khi có thể:

$8 \sin 2x \cos 2x = 4 \cdot (2 \sin 2x \cos 2x) = 4 \sin 4x$.

Khi đó $y'' = \frac{4 \sin 4x}{\cos^4 2x}$. Tùy vào đáp án trắc nghiệm mà các em chọn cách biểu diễn phù hợp nhất!