Bài 4.15 SGK Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là lời giải chi tiết và phương pháp phân tích tam giác vuông trực quan nhất.

I. Đề bài tập 4.15 (SGK Toán 10 - Trang 59)

Chất điểm $A$ chịu tác động của ba lực $\overrightarrow{F_1}$, $\overrightarrow{F_2}$, $\overrightarrow{F_3}$ như Hình 4.30 và ở trạng thái cân bằng (tức là $\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2} + \overrightarrow{F_3} = \overrightarrow{0}$). Tính độ lớn của các lực $\overrightarrow{F_2}$, $\overrightarrow{F_3}$, biết lực $\overrightarrow{F_1}$ có độ lớn là $20\text{N}$.

II. Phương pháp giải toán tĩnh học vật lý

Để giải bài toán hệ lực cân bằng gồm 3 lực, các em tuân theo hai bước biến đổi lớn:

1. Chuyển đổi điều kiện cân bằng: Đưa phương trình $\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2} + \overrightarrow{F_3} = \overrightarrow{0}$ về dạng tổng hai lực này đối với lực còn lại: $\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2} = -\overrightarrow{F_3}$.

2. Hình học hóa tam giác vuông: Sử dụng quy tắc hình bình hành để dựng vectơ tổng hợp. Dựa vào các góc đặc biệt trên hình ($30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$) để áp dụng hệ thức lượng lượng giác trong tam giác vuông nhằm tìm ra độ lớn các cạnh.

III. Lời giải chi tiết bài 4.15

Để thuận tiện cho việc gọi tên các cạnh và tính toán hình học, ta mô hình hóa chất điểm $A$ đặt tại tâm gốc tọa độ lực $O$. Vẽ lại các vectơ lực $\overrightarrow{F_1}$, $\overrightarrow{F_2}$, $\overrightarrow{F_3}$ tương ứng dưới dạng các đoạn thẳng hình học phẳng như sau:

Theo đề bài, ta biểu diễn:

• Lực $\overrightarrow{F_1}$ bởi vectơ $\overrightarrow{OA}$, có độ lớn $|\overrightarrow{F_1}| = OA = 20\text{N}$.

• Lực $\overrightarrow{F_2}$ bởi vectơ $\overrightarrow{OB}$, có độ lớn $|\overrightarrow{F_2}| = OB$.

• Lực $\overrightarrow{F_3}$ bởi vectơ $\overrightarrow{OC}$, có độ lớn $|\overrightarrow{F_3}| = OC$.

• Theo hình vẽ, góc giữa hai lực $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ là một góc vuông: $\widehat{AOB} = 90^\circ$. Góc giữa hai lực $\overrightarrow{F_2}$ và $\overrightarrow{F_3}$ bằng $120^\circ$: $\widehat{BOC} = 120^\circ$.

Bước 1: Thu gọn hợp lực bằng hình hình hành

Vì chất điểm ở trạng thái cân bằng nên ta có phương trình lực:

Dựng hình bình hành $OBDA$. Vì có góc vuông $\widehat{AOB} = 90^\circ$ nên tứ giác $OBDA$ thực chất là một hình chữ nhật.

Áp dụng quy tắc hình bình hành, hợp lực của hai lực $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ được biểu diễn bởi đường chéo $\overrightarrow{OD}$:

Thế đẳng thức $(2)$ vào phương trình $(1)$, ta thu được mối quan hệ:

Mối quan hệ $\overrightarrow{OD} = - \overrightarrow{F_3}$ khẳng định rằng hai vectơ $\overrightarrow{OD}$ và $\overrightarrow{F_3}$ là hai vectơ đối nhau. Điều này đồng nghĩa với việc:

• Ba điểm $C, O, D$ thẳng hàng (đường thẳng $OD$ là tia đối của tia $OC$).

• Độ lớn của hai vectơ bằng nhau: $|\overrightarrow{F_3}| = OC = OD$.

Bước 2: Tính toán góc trong tam giác vuông bổ trợ

• Vì ba điểm $C, O, D$ thẳng hàng tạo thành góc bẹt $\widehat{COD} = 180^\circ$, ta tính được góc $\widehat{BOD}$ bên dưới như sau:

  $$\widehat{BOD} = \widehat{COD} - \widehat{BOC} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$

• Vì tứ giác $OBDA$ là hình chữ nhật nên tam giác $\Delta OBD$ là tam giác vuông tại đỉnh $B$ ($\widehat{OBD} = 90^\circ$).

• Mặt khác, các cạnh đối hình chữ nhật bằng nhau nên: $BD = OA = 20\text{N}$.

Bước 3: Áp dụng hệ thức lượng tìm độ lớn các lực

Xét tam giác $\Delta OBD$ vuông tại $B$ có góc nhọn $\widehat{BOD} = 60^\circ$ và cạnh đối $BD = 20$:

• Tính độ lớn lực $\overrightarrow{F_2}$ (tương ứng với cạnh $OB$):

  Sử dụng hàm lượng giác tang ($\tan$) trong tam giác vuông:

  $$\tan\widehat{BOD} = \frac{BD}{OB} \Rightarrow OB = \frac{BD}{\tan 60^\circ} = \frac{20}{\sqrt{3}} \quad (\text{N})$$
  $$\Rightarrow |\overrightarrow{F_2}| = \frac{20\sqrt{3}}{3} \approx 11,55\text{N}$$

• Tính độ lớn lực $\overrightarrow{F_3}$ (tương ứng với cạnh $OD$):

  Sử dụng hàm lượng giác sin ($\sin$) trong tam giác vuông:

  $$\sin\widehat{BOD} = \frac{BD}{OD} \Rightarrow OD = \frac{BD}{\sin 60^\circ} = \frac{20}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{40}{\sqrt{3}} \quad (\text{N})$$

  Mà ta đã chứng minh được $|\overrightarrow{F_3}| = OD$, suy ra:

  $$\Rightarrow |\overrightarrow{F_3}| = \frac{40\sqrt{3}}{3} \approx 23,09\text{N}$$

Kết luận cuối cùng: Độ lớn của các lực $\overrightarrow{F_2}$ và $\overrightarrow{F_3}$ cần tìm lần lượt là $\frac{20}{\sqrt{3}}\text{N}$ và $\frac{40}{\sqrt{3}}\text{N}$.

IV. Tổng kết mẹo làm bài nhanh hệ ba lực cân bằng

Để giúp các em học sinh của HayHocHoi.Vn có thể xử lý nhanh các câu hỏi trắc nghiệm dạng này mà không cần tốn thời gian dựng hình phụ, các em hãy ghi nhớ quy tắc: Hợp lực của hai lực thành phần luôn có độ lớn bằng lực thành phần thứ ba đối diện.

Khi góc giữa $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ là góc vuông, ta luôn có hệ thức vuông góc Pitago:

Thay số kiểm tra lại bài toán trên: $\left(\frac{40}{\sqrt{3}}\right)^2 = 20^2 + \left(\frac{20}{\sqrt{3}}\right)^2 \Leftrightarrow \frac{1600}{3} = 400 + \frac{400}{3}$ (Hoàn toàn chính xác!). Việc biết cách kiểm tra chéo kết quả giúp các em tự tin 100% khi nộp bài thi.

V. Kết luận

Thành thạo phương pháp giải bài toán tĩnh học bằng công cụ hình học vectơ giúp học sinh xây dựng tư duy liên môn cực tốt, làm tiền đề vững chắc cho việc học tập phân tích lực ở bộ môn Vật lý 10.