Cách nhân, chia hai phân thức đại số? phân thức nghịch đảo là gì? Ví dụ? Toán 8 bài 3

Vậy quy tắc nhân chia là gì? Phân thức nghịch đảo được định nghĩa như thế nào? Chúng ta cùng tìm hiểu ngay sau đây.

I. Phép nhân các phân thức đại số

1. Quy tắc nhân hai phân thức đại số

• Muốn nhân hai phân thức đại số, ta nhân các tử với nhau và nhân các mẫu với nhau:

$\frac{A}{B}.\frac{C}{D}=\frac{A.C}{B.D}$

* Ví dụ: Thực hiện phép tính:

a) $\frac{x^3+1}{x^2-2x+1}.\frac{x-1}{x^2-x+1}$

b) $(x^2-4x+4).\frac{2}{3x^2-6x}$

* Lời giải:

a) $\frac{x^3+1}{x^2-2x+1}.\frac{x-1}{x^2-x+1}$

$= \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x-1)^2}.\frac{x-1}{x^2-x+1}$

$= \frac{(x+1)(x^2-x+1)(x-1)}{(x-1)^2(x^2-x+1)}=\frac{x+1}{x-1}$

b) $(x^2-4x+4).\frac{2}{3x^2-6x}$

$= (x-2)^2.\frac{2}{3x(x-2)}=\frac{2(x-2)^2}{3x(x-2)}$

$=\frac{2(x-2)}{3x}=\frac{2x-4}{3x}$

2. Tính chất của phép nhân phân thức

- Giao hoán: $\frac{A}{B}.\frac{C}{D}=\frac{C}{D}.\frac{A}{B}$

- Kết hợp: $\left ( \frac{A}{B}.\frac{C}{D} \right ).\frac{M}{N}=\frac{A}{B}.\left (\frac{C}{D}.\frac{M}{N} \right )$

- Phân phối đối với phép cộng: $\frac{A}{B}.\left (\frac{C}{D}+\frac{M}{N} \right )=\frac{A}{B}.\frac{C}{D}+\frac{A}{B}.\frac{M}{N}$

- Nhân với số 1: $\frac{A}{B}.1=1.\frac{A}{B}=\frac{A}{B}$

* Ví dụ: Tính một cách hợp lí:

a) $\frac{y+6}{x^2-4x+4}.\frac{x^2-1}{x+1}.\frac{x-2}{y+6}$

b) $\left ( \frac{1}{x-4}+\frac{2x+1}{x^2-8x+16} \right ).\frac{x-4}{2x+1}$

* Lời giải:

a) $\frac{y+6}{x^2-4x+4}.\frac{x^2-1}{x+1}.\frac{x-2}{y+6}$

$=\frac{y+6}{(x-2)^2}.\frac{(x+1)(x-1)}{x+1}.\frac{x-2}{y+6}$

$=\frac{y+6}{(x-2)^2}.(x-1).\frac{x-2}{y+6}$

$=\frac{y+6}{(x-2)^2}.\frac{x-2}{y+6}.(x-1)$

$=\frac{1}{x-2}.(x-1)=\frac{x-1}{x-2}$

b) $\left ( \frac{1}{x-4}+\frac{2x+1}{x^2-8x+16} \right ).\frac{x-4}{2x+1}$

$=\left [ \frac{1}{x-4}+\frac{2x+1}{(x-4)^2} \right ].\frac{x-4}{2x+1}$

$= \frac{1}{x-4}.\frac{x-4}{2x+1}+\frac{2x+1}{(x-4)^2}.\frac{x-4}{2x+1}$

$=\frac{1}{2x+1}+\frac{1}{x-4}=\frac{x-4+2x+1}{(2x+1)(x-4)}$

$=\frac{3x-3}{2x^2-7x-3}$

II. Phép chia phân thức đại số

1. Phân thức nghịch đảo

• Phân thức $\frac{B}{A}$ được gọi là phân thức nghịch đảo của phân thức $\frac{A}{B}$ với A, B là các đa thức khác 0.

* Ví dụ: Phân thức nghịch đảo của phân thức $\frac{2x+1}{2y-3}$ là $\frac{2y-3}{2x+1}$

2. Phép chia phân thức đại số

• Muốn chia phân thức $\frac{A}{B}$ cho phân thức $\frac{C}{D}$ khác 0, ta nhân $\frac{A}{B}$ với phân thức nghịch đảo của $\frac{C}{D}$.

$\frac{A}{B}:\frac{C}{D}=\frac{A}{B}.\frac{D}{C}$  với $\frac{C}{D}$ khác 0

* Ví dụ: Thực hiện phép tính:

a) $\frac{x+y}{y-x}:\frac{x^2+xy}{3x^2-3y^2}$

b) $\frac{x^3+y^3}{x-y}:(x^2-xy+y^2)$

* Lời giải:

a) $\frac{x+y}{y-x}:\frac{x^2+xy}{3x^2-3y^2}$ $= \frac{x+y}{y-x}:\frac{x(x+y)}{3(x-y)(x+y)}$

$= \frac{x+y}{y-x}:\frac{x}{3(x-y)}$ $= \frac{x+y}{y-x}.\frac{3(x-y)}{x}$

$= -\frac{x+y}{x-y}.\frac{3(x-y)}{x}$ $=-\frac{3(x+y)}{x}$

b) $\frac{x^3+y^3}{x-y}:(x^2-xy+y^2)$

$= \frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{x-y}.\frac{1}{x^2-xy+y^2}$

$= \frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{(x-y)(x^2-xy+y^2)}$ $=\frac{x+y}{x-y}$

III. Lưu ý khi thực hiện phép tính

1. Phân tích đa thức thành nhân tử: Trước khi nhân hoặc chia, hãy phân tích tử và mẫu thành nhân tử để rút gọn biểu thức nhanh nhất.

2. Dấu của phân thức: Chú ý các trường hợp đổi dấu (ví dụ: $y - x = -(x - y)$) để rút gọn các nhân tử đối nhau.

3. Thứ tự thực hiện: Nếu biểu thức có cả nhân và chia, ta thực hiện theo thứ tự từ trái sang phải.