Tìm giá trị của x để biểu thức nguyên - Toán 9 chuyên đề

Bài viết này các em hãy cùng hayhochoi tìm hiểu cách giải bài toán tìm giá trị của x để biểu thức nguyên, vận dụng vào giải một số bài tập minh họa để nắm vững cách giải nhé.

A. Phương pháp tìm giá trị của x để biểu thức nguyên

Để tìm giá trị của x để biểu thức nguyên ta thực hiện các bước sau:

+ Bước 1: Biến đổi biểu thức về dạng:  trong đó f(x) là một biểu thức nguyên khi x nguyên và k có giá trị là số nguyên.

+ Bước 2: Để biểu thức A nhận giá trị nguyên thì  phải có giá trị nguyên hay  tức là g(x) thuộc tập ước của k.

+ Bước 3: Lập bảng để tính các giá trị của x

+ Bước 4: Kết hợp với điều kiện đề bài, loại bỏ những giá trị không phù hợp, sau đó kết luận bài toán

B. Ví dụ minh họa tìm giá trị của x để biểu thức nguyên

* Ví dụ 1: Tìm giá trị của x để biểu thức sau nhận giá trị nguyên:

* Lời giải:

- Điều kiện A xác định là căn bậc 2 có nghĩa: x ≥ 0.

Ta có:  

Để A nhận giá trị nguyên thì  nguyên (tức )

- TH1:  (loại)

- TH2:  (thỏa)

Vậy với x = 0 thì biểu thức A nhận giá trị nguyên.

* Ví dụ 2: Tìm giá trị của x để biểu thức sau đạt giá trị nguyên:

* Lời giải:

Các em chú ý điều kiện để P xác định là căn bậc 2 không âm và mẫu thức khác không.

Điều kiện xác định: 

Ta có: 

Biểu thức P nhận giá trị nguyên khi  có giá trị nguyên:

Ta biết rằng khi x là số nguyên thì hoặc  là số nguyên (nếu x là số chính phương) hoặc  là số vô tỉ (nếu x không là số chính phương)

Để  là số nguyên thì  phải là số nguyên (không thể là số vô tỉ)

⇒  là ước tự nhiên của 5

Ta có các trường hợp như sau:

- TH1:  (thỏa)

- TH2:  (thỏa)

- TH3:  (thỏa)

- TH4:  (loại)

Vậy để biểu thức P đạt giá trị nguyên thì x ∈ {4; 16; 64}

* Ví dụ 3: Tìm giá trị của x để biểu thức sau đạt giá trị nguyên:

* Lời giải:

- Điều kiện xác định (mẫu thức khác 0): x + 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ -1.

Ta có:  

Vậy để B nhận giá trị nguyên thì

⇔ x + 1 ∈ Ư(2) = {-1; 1; -2;2}

- TH1: x + 1 = -1 ⇒ x = -2

- TH2: x + 1 = 1 ⇒ x = 0

- TH3: x + 1 = -2 ⇒ x = -3

- TH4: x + 1 = 2 ⇒ x = 1

Vậy B nhận giá trị nguyên khi x ∈ {-3; -2; 0; 1}.

* Ví dụ 4: Tìm giá trị nguyên của x để P = (x+3)/(x - 2) nhận giá trị nguyên

* Lời giải:

- Ta có: 

Để P nhận giá trị nguyên thì  nhận giá trị nguyên

Nên (x - 2) ∈ Ư(5) = {-1; 1; -5; 5}

- TH1: x - 2 = -1 ⇒ x = 1

- TH2: x - 2 = 1 ⇒ x = 3

- TH3: x - 2 = -5 ⇒ x = -3

- TH4: x - 2 = 5 ⇒ x = 7

Vậy P = (x+3)/(x - 2) nhận giá trị nguyên khi x ∈ {-3; 1; 3 ; 7}

* Ví dụ 5: Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên:

* Lời giải:

- Ta có: 

Vậy để A nhận giá trị nguyên thì  nhận giá trị nguyên

Nên (x - 3) là ước của 8: (x - 3) ∈ U(8) = {-1; 1; -2; 2; -4; 4; -8; 8}

- TH1: x - 3 = -1 ⇒ x = 2

- TH2: x - 3 = 1 ⇒ x = 4

- TH3: x - 3 = -2 ⇒ x = 1

- TH4: x - 3 = 2 ⇒ x = 5

- TH5: x - 3 = -4 ⇒ x = -1

- TH6: x - 3 = 4 ⇒ x = 7

- TH7: x - 3 = -8 ⇒ x = -5

- TH8: x - 3 = 8 ⇒ x = 11

Vậy A nhận giá trị nguyên khi x ∈ {-5; -1; 1; 2; 4; 5; 7; 11}

* Ví dụ 6: Tìm giá trị của x để biểu thức Q nhận giá trị nguyên

* Lời giải:

- Điều kiện x ≥ 0.

- Trường hợp x = 0 thay vào Q ta được: Q = 0

- Trường hợp x > 0, ta chia tử thức và mẫu thức cho 

Ta được: 

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với:

 (nghịch đảo 2 vế, bất đẳng thức đổi chiều)

hay 0 < Q ≤ 2.

Vậy Q nguyên ⇔ Q = 1 hoặc Q = 2.

- Với Q = 1, ta có: 

 (*)

Đặt  phương trình (*) trở thành

 t² - 3t + 1 = 0

Giải phương trình bậc 2 này ta được: 

- Với Q = 2, ta có: 

Vậy Q nhận giá trị nguyên khi