Tìm giá trị của x để biểu thức nguyên - Toán 9 chuyên đề

Đây là dạng toán đòi hỏi học sinh phải có sự biến đổi linh hoạt, vận dụng cao và nắm vững kiến thức về ước, bội của số nguyên đã học ở các lớp dưới.

A. Phương pháp tìm giá trị của x để biểu thức nguyên

Để giải quyết bài toán này, các em cần thực hiện trình tự theo các bước sau:

• Bước 1: Biến đổi biểu thức ban đầu về dạng: $A = f(x) + \frac{k}{g(x)}$. Trong đó, $f(x)$ là biểu thức nhận giá trị nguyên khi $x$ nguyên và $k$ là một hằng số nguyên.

• Bước 2: Để biểu thức $A$ nhận giá trị nguyên thì phân thức $\frac{k}{g(x)}$ phải có giá trị nguyên. Điều này tương đương với việc $g(x)$ phải thuộc tập hợp các ước của hằng số $k$.

• Bước 3: Lập bảng giá trị để tính toán các trường hợp của $x$ dựa trên các ước đã tìm được.

• Bước 4: Đối chiếu kết quả với điều kiện xác định của đề bài, loại bỏ các giá trị không phù hợp và đưa ra kết luận cuối cùng.

B. Ví dụ minh họa chi tiết

Ví dụ 1

Tìm giá trị của $x$ để biểu thức sau nhận giá trị nguyên: $A = \frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+2}$.

Lời giải:

• Điều kiện xác định: $x \ge 0$.

• Biến đổi biểu thức: $A = \frac{\sqrt{x}+2+2}{\sqrt{x}+2} = 1 + \frac{2}{\sqrt{x}+2}$.

• Để $A \in \mathbb{Z}$ thì $\frac{2}{\sqrt{x}+2} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow (\sqrt{x}+2) \in Ư(2) = \{+2; -2\}$.

• Trường hợp 1: $\sqrt{x}+2 = -2 \Rightarrow \sqrt{x} = -4$ (vô lý, loại).

• Trường hợp 2: $\sqrt{x}+2 = 2 \Rightarrow \sqrt{x} = 0 \Rightarrow x = 0$ (thỏa mãn).

• Kết luận: Với $x = 0$ thì biểu thức $A$ nhận giá trị nguyên.

Ví dụ 2

Tìm giá trị của $x$ để biểu thức sau đạt giá trị nguyên: $P = \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3}$.

Lời giải:

• Điều kiện xác định: $\begin{cases} x \ge 0 \\ \sqrt{x}-3 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \ge 0 \\ x \neq 9 \end{cases}$.

• Biến đổi: $P = \frac{\sqrt{x}-3+5}{\sqrt{x}-3} = 1 + \frac{5}{\sqrt{x}-3}$.

• Để $P \in \mathbb{Z}$ thì $\frac{5}{\sqrt{x}-3} \in \mathbb{Z} \Rightarrow \sqrt{x}-3 \in Ư(5) = \{-1; 1; -5; 5\}$.

• Lưu ý: Khi $x \in \mathbb{Z}$, để $\frac{5}{\sqrt{x}-3}$ nguyên thì $\sqrt{x}$ phải là số nguyên. Do đó $\sqrt{x}-3$ là ước tự nhiên của 5.

• Các trường hợp:

  • TH1: $\sqrt{x}-3 = 1 \Rightarrow \sqrt{x} = 4 \Rightarrow x = 16$ (thỏa mãn).

  • TH2: $\sqrt{x}-3 = -1 \Rightarrow \sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4$ (thỏa mãn).

  • TH3: $\sqrt{x}-3 = 5 \Rightarrow \sqrt{x} = 8 \Rightarrow x = 64$ (thỏa mãn).

  • TH4: $\sqrt{x}-3 = -5 \Rightarrow \sqrt{x} = -2$ (loại).

• Kết luận: Để $P \in \mathbb{Z}$ thì $x \in \{4; 16; 64\}$.

Ví dụ 3

Tìm giá trị của $x$ để biểu thức đạt giá trị nguyên: $B = \frac{x^2+x-2}{x+1}$.

Lời giải:

• Điều kiện xác định: $x \neq -1$.

• Biến đổi: $B = \frac{x(x+1)-2}{x+1} = x - \frac{2}{x+1}$.

• Để $B \in \mathbb{Z}$ thì $\frac{2}{x+1} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x + 1 \in Ư(2) = \{-1; 1; -2; 2\}$.

• Các trường hợp:

  • $x + 1 = -1 \Rightarrow x = -2$.

  • $x + 1 = 1 \Rightarrow x = 0$.

  • $x + 1 = -2 \Rightarrow x = -3$.

  • $x + 1 = 2 \Rightarrow x = 1$.

• Kết luận: $B$ nhận giá trị nguyên khi $x \in \{-3; -2; 0; 1\}$.

Ví dụ 4

Tìm giá trị nguyên của $x$ để $P = \frac{x+3}{x-2}$ nhận giá trị nguyên.

Lời giải:

• Biến đổi: $P = \frac{(x-2)+5}{x-2} = 1 + \frac{5}{x-2}$.

• Để $P \in \mathbb{Z}$ thì $\frac{5}{x-2} \in \mathbb{Z} \Rightarrow (x - 2) \in Ư(5) = \{-1; 1; -5; 5\}$.

• Các giá trị của $x$:

  • $x - 2 = -1 \Rightarrow x = 1$.

  • $x - 2 = 1 \Rightarrow x = 3$.

  • $x - 2 = -5 \Rightarrow x = -3$.

  • $x - 2 = 5 \Rightarrow x = 7$.

• Kết luận: $x \in \{-3; 1; 3; 7\}$.

Ví dụ 5

Tìm giá trị nguyên của $x$ để $A$ nhận giá trị nguyên: $A = \frac{x^2-x+2}{x-3}$.

Lời giải:

• Biến đổi: $A = \frac{x^2-3x+2x-6+8}{x-3} = x + 2 + \frac{8}{x-3}$.

• Để $A \in \mathbb{Z}$ thì $\frac{8}{x-3} \in \mathbb{Z} \Rightarrow (x - 3) \in Ư(8) = \{-1; 1; -2; 2; -4; 4; -8; 8\}$.

• Các giá trị tương ứng của $x$: $2; 4; 1; 5; -1; 7; -5; 11$.

• Kết luận: $x \in \{-5; -1; 1; 2; 4; 5; 7; 11\}$.

Ví dụ 6

Tìm giá trị của $x$ để biểu thức $Q$ nhận giá trị nguyên: $Q = \frac{2\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}$.

Lời giải:

• Điều kiện: $x \ge 0$. Với $x = 0 \Rightarrow Q = 0 \in \mathbb{Z}$.

• Với $x > 0$, chia tử và mẫu cho $\sqrt{x}$: $Q = \frac{2}{\sqrt{x}-1+\frac{1}{\sqrt{x}}}$.

• Áp dụng BĐT Cô-si: $\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \ge 2 \Rightarrow \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} - 1 \ge 1$.

• Suy ra $0 < Q \le 2$. Vậy $Q \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow Q = 1$ hoặc $Q = 2$.

• Với $Q = 1$: $\frac{2\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1} = 1 \Leftrightarrow x - 3\sqrt{x} + 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{7 \pm 3\sqrt{5}}{2}$ (thỏa mãn).

• Với $Q = 2$: $\frac{2\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1} = 2 \Leftrightarrow \sqrt{x} = 1 \Leftrightarrow x = 1$.

• Kết luận: $x \in \{0; 1; \frac{7-3\sqrt{5}}{2}; \frac{7+3\sqrt{5}}{2}\}$.

C. Bài tập tự luyện

Bài tập 1: Tìm giá trị nguyên của $x$ để các biểu thức sau nhận giá trị nguyên:

• a) $A = \frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}$

• b) $B = \frac{\sqrt{x}+3}{2-\sqrt{x}}$

Bài tập 2: Tìm giá trị nguyên của $x$ để các biểu thức sau nhận giá trị nguyên:

• a) $P = \frac{x^2+3x+3}{2x-1}$

• b) $Q = \frac{x^2-4x-17}{x+2}$