Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức chứa căn bậc 2 lớp 9

13:37:3414/02/2025

Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức chứa căn bậc 2 lớp 9 là một trong những dạng toán có nhiều bài tương đối khó và đòi hỏi kiến thức vận dụng linh hoạt trong mỗi bài toán.

Bài viết này sẽ giúp các em cách tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN, Min) của biểu thức chứa căn bậc 2 lớp 9 một cách chi tiết và dễ hiểu nhất.

1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn bậc 2 lớp 9

* Phương pháp: (đối với biểu thức 1 biến số)

- Cũng tương tự như cách tìm ở phương pháp trên, vận dụng tính chất của biểu thức không âm như:

$small sqrt{-A^{2}(x)+b}le sqrt{b}; extrm{ }(0le b)$ hoặc $small sqrt{b}lesqrt{A^{2}(x)+b}; extrm{ }(0le b)$

- Dấu "=" xảy ra khi A = 0.

* Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$small A = 9+sqrt{2x^2-4x+5}$

° Lời giải:

- Ta thấy: $sqrt{2x^2-4x+5}=small sqrt{(2x^2-4x+2)+3}$

$small =sqrt{2(x^2-2x+1)+3}=sqrt{2(x-1)^2+3}$

Vì (x - 1)² ≥ 0 ⇒ 2(x - 1)² ≥ 0 ⇒ 2(x - 1)² + 3 ≥ 3

nên $small Rightarrow sqrt{2(x-1)^2+3}>=sqrt{3}$ dấu "=" xảy ra khi x - 1 = 0 ⇔ x = 1

$small Rightarrow A_{min}=9+sqrt{3}Leftrightarrow x=1$

* Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$\small\,A=\sqrt{4x^2-4x+1}+\sqrt{4x^2-12x+9}$

* Lời giải:

Ta có: 4x² – 4x + 1 = (2x – 1)² ≥ 0

4x² – 12x + 9 = (2x – 3)² ≥ 0

Nên có:

$\small\,A=\sqrt{(2x-1)^2}+\sqrt{(2x-3)^2}=|2x-1|+|2x-3|$ (Vì $\small\,\sqrt{A^2}=|A|$ )

$\small\,=|2x-1|+|3-2x|\geq|2x-1+3-2x|=2$

Dấu "=" xảy ra khi (2x - 1)(3 - 2x) ≥ 0 hay 1/2 ≤ x ≤ 3/2

Vậy MinA = 2 khi 1/2 ≤ x ≤ 3/2.

* Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất (gtnn) của biểu thức: $\small\,A=5+\sqrt{2x^2-4x+11}$

* Lời giải:

Ta có: 2x² - 4x + 11 = 2x² - 4x + 2 + 9 = 2(x - 1)² + 9

Nên: $\small\,A=5+\sqrt{2x^2-4x+11}$ $\small\,=5+\sqrt{2(x-1)^2+9}\geq 5+\sqrt{9}=8$

Dấu "=" xảy ra khi x - 1 = 0 ⇒ x = 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 8, đạt được khi x = 1.

* Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$small A=sqrt{-3x^2+6x+2}$

° Lời giải:

- Ta có: $A=\sqrt{-3x^2+6x+2}=\sqrt{(-3x^2+6x-3)+3+2}$

$small =sqrt{-3(x^2-2x+1)+5}=sqrt{-3(x-1)^2+5}$

Vì (x - 1)² ≥ 0 ⇒ -3(x - 1)² ≤ 0 ⇒ -3(x - 1)² + 5 ≤ 5

$small Rightarrow sqrt{-3(x-1)^2+5}lesqrt{5}$ dấu "=" xảy ra khi x - 1 = 0 ⇔ x = 1

$small Rightarrow A_{max}=sqrt{5}Leftrightarrow x=1$

* Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$small A=sqrt{x^2+y^2-2xy+2x-2y+7}+2y^2-8y+2020$

° Lời giải:

- Ta có: $small sqrt{(x^2+y^2-2xy)+(2x-2y)+7}+2y^2-8y+2020$

$small =sqrt{(x-y)^2+2(x-y)+7}+(2y^2-8y+8)+2012$

$small =sqrt{[(x-y)^2+2(x-y)+1]+6}+2(y^2-4y+4)+2012$

$small =sqrt{[(x-y)+1]^2+6}+2(y-2)^2+2012$

$\small \Rightarrow A\geq \sqrt{6}+2012$ nên giá trị nhỏ nhất của A là small 2012+sqrt{6} đạt được khi:

$small left{egin{matrix} x-y+1=0\ y-2=0 end{matrix} ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} x= 1\ y=2 end{matrix} ight.$

* Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$small dpi{100} small A=frac{1}{x-sqrt{x}+2}$

° Lời giải:

- Điều kiện: x≥0

- Để A đạt giá trị lớn nhất thì small x-sqrt{x}+2 đạt giá trị nhỏ nhất

- Ta có: $\small\:x-\sqrt{x}+2=(\sqrt{x})^2-2.\frac{1}{2}\sqrt{x}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+2$

$small =left ( sqrt{x} -frac{1}{2} ight )^2+frac{7}{4}$

Lại có: $small left ( sqrt{x} -frac{1}{2} ight )^2>=0,forall x>=0$ $small Rightarrow left ( sqrt{x} -frac{1}{2} ight )^2+frac{7}{4}>=frac{7}{4},forall x>=0$

Dấu"=" xảy ra khi $small sqrt{x}-frac{1}{2}=0Leftrightarrow x=frac{1}{4}$

$\small \Rightarrow Min(x-\sqrt{x}+2)=\frac{7}{4}\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}$

$\small \Rightarrow MaxA=\frac{4}{7}\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}$

- Kết luận: GTLN của A = 4/7 khi x = 1/4.

2. Bài tập vận dụng tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức chứa căn lớp 9

Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\small\,A=\frac{-5}{2+\sqrt{x}}$

Bài tập 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\small\,B=\frac{3}{x-\sqrt{x}+1}$

Bài tập 3: Cho biểu thức $\small\,A=\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right):\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}$

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A

Bài tập 4: Cho biểu thức $\small\,B=\left(\frac{1}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{x-1}\right):\frac{2\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}-2}$

a) Rút gọn biểu thức B

b) Tìm giá trị lớn nhất của B

Bài tập 5: Cho biểu thức $\small\,C=\frac{x^2+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}-\frac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+1$

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn C

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của C

Hy vọng với bài viết Cách tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức chứa căn bậc 2 lớp 9 ở trên giúp các em giải các bài tập dạng này một cách dễ dàng. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để hayhochoi ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.