Bài 3.38 trang 65 Toán 9 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết từng bước giúp các em học sinh làm chủ dạng toán này.

I. Đề bài tập 3.38 (SGK Toán 9 Tập 1 - Trang 65)

Cho biểu thức:

• a) Rút gọn biểu thức $A$.

• b) Tính giá trị của biểu thức $A$ tại $x = 14$.

II. Phương pháp giải và hằng đẳng thức cần nhớ

Để thực hiện rút gọn một phân thức chứa căn ở mẫu một cách chính xác, chúng ta cần tuân thủ theo quy trình toán học sau:

1. Xác định mẫu thức chung (MTC): Quan sát hai mẫu thức độc lập là $(\sqrt{x}-2)$ và $(\sqrt{x}+2)$. Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, ta xác định được:

   $$\text{MTC} = (\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2) = (\sqrt{x})^2 - 2^2 = x - 4$$

2. Quy đồng và nhân tử phụ: Nhân cả tử và mẫu của từng phân thức với nhân tử phụ tương ứng để đưa về cùng một mẫu chung.

3. Thu gọn tử số: Thực hiện phép nhân đa thức với đa thức, lưu ý cẩn thận dấu trừ đứng trước phân thức thứ hai khi phá ngoặc.

III. Hướng dẫn giải chi tiết bài 3.38

Câu a) Rút gọn biểu thức $A$

Với điều kiện đề bài đã cho là $x > 0$ và $x \ne 4$, biểu thức $A$ hoàn toàn xác định. Ta tiến hành biến đổi quy đồng mẫu số như sau:

Ta thực hiện khai triển đa thức trên tử số:

• Nhóm thứ nhất là hằng đẳng thức bình phương của một tổng: $(\sqrt{x}+2)^2 = (\sqrt{x})^2 + 2 \cdot 2\sqrt{x} + 2^2 = x + 4\sqrt{x} + 4$.

• Nhóm thứ hai thực hiện nhân đơn thức với đa thức, lưu ý đổi dấu do có dấu trừ phía trước: $-4(\sqrt{x}-2) = -4\sqrt{x} + 8$.

Thay các biểu thức đã khai triển vào tử số, ta có:

Tiến hành nhóm các hạng tử đồng dạng trên tử số để thu gọn:

• Hạng tử chứa căn: $4\sqrt{x} - 4\sqrt{x} = 0$.

• Hạng tử hằng số: $4 + 8 = 12$.

Biểu thức thu gọn trở thành:

Kết luận câu a: Với $x > 0, x \ne 4$ thì biểu thức $A$ sau khi rút gọn bằng $\frac{x + 12}{x - 4}$.

Câu b) Tính giá trị của biểu thức $A$ tại $x = 14$

• Bước 1: Đối chiếu điều kiện

  Trước khi thay số, ta cần đối chiếu giá trị $x = 14$ với điều kiện xác định của đề bài. Ta thấy $14 > 0$ và $14 \ne 4$ (hoàn toàn thỏa mãn điều kiện).

• Bước 2: Thay số vào biểu thức đã rút gọn

  Để việc tính toán nhanh chóng, chúng ta thay trực tiếp giá trị $x = 14$ vào biểu thức tối giản vừa tìm được ở câu a thay vì biểu thức phức tạp ban đầu của đề bài:

  $$A = \frac{14 + 12}{14 - 4}$$

• Bước 3: Thu gọn phân số về dạng tối giản

  $$A = \frac{26}{10}$$

  Chia cả tử và mẫu cho ước chung lớn nhất là 2, ta được phân số tối giản:

  $$A = \frac{13}{5}$$

Kết luận câu b: Tại giá trị $x = 14$ thì biểu thức $A$ có giá trị bằng $\frac{13}{5}$.

IV. Mẹo làm toán hiệu quả, tránh sai dấu

Trong quá trình làm bài thi tự luận, lỗi sai phổ biến nhất khiến học sinh bị mất toàn bộ điểm số của câu rút gọn chính là lỗi quên đổi dấu khi phía trước phân thức có dấu trừ.

• Nhận diện lỗi sai kinh điển: Ở bước quy đồng phân thức thứ hai, rất nhiều học sinh viết theo thói quen là $- 4(\sqrt{x}-2) = -4\sqrt{x} - 8$. Việc giữ nguyên dấu trừ của số 8 khiến tử số bị tính sai thành $x - 4$, dẫn đến kết quả rút gọn ra số 1 sai hoàn toàn.

• Mẹo xử lý an toàn: Để triệt tiêu hoàn toàn nguy cơ này, khi thực hiện bước quy đồng, các em hãy luôn viết một bước trung gian chứa dấu ngoặc đóng mở đầy đủ: $- [4(\sqrt{x}-2)]$. Sau đó, thực hiện nhân số 4 vào trong ngoặc trước để được $- [4\sqrt{x} - 8]$, rồi mới tiến hành phá ngoặc đổi dấu đồng loạt thành $-4\sqrt{x} + 8$. Bước đệm này tuy mất thêm 5 giây trình bày nhưng sẽ đảm bảo độ chính xác tuyệt đối cho bài toán của các em.

V. Kết luận

Bài tập 3.38 trang 65 giúp học sinh rèn luyện tính cẩn thận, tư duy lô-gích và khả năng bao quát các điều kiện xác định của biến số. Việc nắm vững các bước tìm mẫu thức chung và khai triển thu gọn tử số sẽ tạo tiền đề vững chắc, giúp các em tự tin xử lý các câu hỏi phân hóa nâng cao như tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hoặc tìm $x$ nguyên ở các bài toán tiếp theo.