Bài 3.15 trang 53 Toán 9 tập 1 Kết nối tri thức

Đề bài:

Cho căn thức: 

a) Hãy chứng tỏ căn thức xác định với mọi giá trị của x

b) Rút gọn căn thức đã cho với x ≥ 2

c) Chứng tỏ rằng với mọi x ≥ 2, biểu thức  có giá trị không đổi.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần nhớ các quy tắc cơ bản sau:

• Điều kiện xác định của căn thức: Biểu thức \sqrt{A} xác định khi A \ge 0.

• Rút gọn căn bậc hai: \sqrt{A^2} = |A|.

• Giá trị tuyệt đối: |A| = A khi A \ge 0, và |A| = -A khi A < 0.

Mấu chốt của bài toán là nhận ra biểu thức dưới dấu căn là một hằng đẳng thức, từ đó dễ dàng rút gọn và chứng minh các yêu cầu của đề bài.

Lời giải chi tiết:

a) Điều kiện căn thức xác định là: x² – 4x + 4 ≥ 0

Ta thấy: x² – 4x + 4 = (x – 2)² ≥ 0 với mọi x ∈ R.

Vậy căn thức xác định với mọi giá trị của x

b) Rút gọn căn thức đã cho với x ≥ 2

Ta có:

= |x – 2| = x – 2 (vì x ≥ 2 nên x – 2 ≥ 0)

c) Chứng tỏ rằng với mọi x ≥ 2, biểu thức  có giá trị không đổi.

Theo câu b) với mọi x ≥ 2, ta có:

Nên:  

Vậy  có giá trị không đổi bằng  với mọi x ≥ 2