Hệ thức Vi-et, Ứng dụng các dạng toán liên quan và Bài tập Toán 9

I. Kiến thức phương trình bậc 2 và hệ thức Vi-ét cần nhớ

1. Phương trình bậc 2 một ẩn

• Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn có dạng $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$).

• Công thức nghiệm: Xét biệt thức $\Delta = b^2 - 4ac$:

  • Nếu $\Delta > 0$: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

    $x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}; \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$

  • Nếu $\Delta = 0$: Phương trình có nghiệm kép: $x_1 = x_2 = -\frac{b}{a}$

  • Nếu $\Delta < 0$: Phương trình vô nghiệm.

2. Hệ thức Vi-ét

Cho phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$) có hai nghiệm $x_1, x_2$. Ta có hệ thức:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Đặt:

• Tổng nghiệm: $S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

• Tích nghiệm: $P = x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Định lý Vi-ét đảo: Nếu hai số có tổng bằng $S$ và tích bằng $P$ thì hai số đó là nghiệm của phương trình: $X^2 - SX + P = 0$ (Điều kiện để tồn tại hai số là $S^2 - 4P \geq 0$).

Chú ý:

• Nếu nhẩm được: $x_1 + x_2 = m + n$ và $x_1 \cdot x_2 = m \cdot n$ thì phương trình có nghiệm $x_1 = m; x_2 = n$.

• Nếu $a + b + c = 0$ thì phương trình có nghiệm: $x_1 = 1; x_2 = \frac{c}{a}$.

• Nếu $a - b + c = 0$ thì phương trình có nghiệm: $x_1 = -1; x_2 = -\frac{c}{a}$.

II. Ứng dụng của hệ thức Vi-ét trong việc giải các bài tập toán

1. Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai

Ví dụ: Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nghiệm:

• a) $3x^2 - 8x + 5 = 0$ (Có $a + b + c = 3 - 8 + 5 = 0 \Rightarrow x_1 = 1; x_2 = \frac{5}{3}$)

• b) $2x^2 + 9x + 7 = 0$ (Có $a - b + c = 2 - 9 + 7 = 0 \Rightarrow x_1 = -1; x_2 = -\frac{7}{2}$)

• c) $x^2 + x - 6 = 0$ ($x_1+x_2 = -1, x_1x_2 = -6 \Rightarrow x_1 = 2; x_2 = -3$)

2. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm $x_1, x_2$

• Ví dụ 1: Cho $x_1 = 3; x_2 = -2$.

  Ta có $S = 1, P = -6 \Rightarrow x^2 - x - 6 = 0$.

• Ví dụ 2: Cho $x_1 = 3; x_2 = 2$.

  Ta có $S = 5, P = 6 \Rightarrow x^2 - 5x + 6 = 0$.

3. Tìm hai số khi biết tổng và tích

Ví dụ 1: Biết $a+b=1; a \cdot b = -6$.

$a, b$ là nghiệm của $x^2 - x - 6 = 0 \Rightarrow x_1 = 3, x_2 = -2$. Vậy $\{a, b\} = \{3, -2\}$.

4. Tính giá trị của biểu thức nghiệm

Ví dụ: Gọi $x_1, x_2$ là nghiệm của $x^2 + x - 2 + \sqrt{2} = 0$.

Ta có $S = -1; P = -2 + \sqrt{2}$.

• $A = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{S}{P} = \frac{-1}{-2+\sqrt{2}} = \frac{1}{2-\sqrt{2}}$

• $B = x_1^2 + x_2^2 = S^2 - 2P = (-1)^2 - 2(-2+\sqrt{2}) = 5 - 2\sqrt{2}$

• $C = |x_1 - x_2| = \sqrt{S^2 - 4P} = \sqrt{1 - 4(-2+\sqrt{2})} = 2\sqrt{2} - 1$

• $D = x_1^3 + x_2^3 = S^3 - 3PS = -7 + 3\sqrt{2}$

5. Tìm hệ thức độc lập với tham số

Ví dụ: Cho $(m-1)x^2 - 2mx + m - 4 = 0$. Chứng minh $A = 3(x_1+x_2) + 2x_1x_2 - 8 = 0$ không phụ thuộc vào $m$.

Lời giải: Áp dụng $S = \frac{2m}{m-1}, P = \frac{m-4}{m-1}$. Thay vào $A$ ta được $A = 0$ (ĐPCM).

III. Một số bài tập vận dụng

Bài 1: Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nghiệm

a) $x^2 + 9x + 8 = 0$

b) $2x^2 + (\sqrt{3}-2)x - \sqrt{3} = 0$

c) $x^2 - 9x + 20 = 0$

Bài 2: Lập phương trình

Gọi $x_1, x_2$ là nghiệm của $3x^2 + 5x - 6 = 0$. Lập phương trình ẩn $y$ có $y_1 = 2x_1 - x_2$ và $y_2 = 2x_2 - x_1$.

Bài 3: Tính giá trị biểu thức

Cho $x^2 - 3x - 7 = 0$. Không giải phương trình, tính:

$A = \frac{1}{x_1-1} + \frac{1}{x_2-1}$; $B = x_1^2 + x_2^2$; $C = |x_1 - x_2|$; $D = x_1^3 + x_2^3$; $E = x_1^4 + x_2^4$; $F = (3x_1+x_2)(3x_2+x_1)$.