Lý thuyết Toán 9 Bài 5: Bất Đẳng Thức và Tính Chất Cơ Bản (Kết Nối Tri Thức)

1. Bất Đẳng Thức

1.1. Nhắc lại thứ tự trên tập hợp số thực

• Trên tập hợp số thực, với hai số a và b, có ba trường hợp: a = b, a > b hoặc a < b.

• Lưu ý:

  • Khi biểu diễn trên trục số, điểm biểu diễn số bé hơn nằm bên trái điểm biểu diễn số lớn hơn.

  • Ký hiệu  có nghĩa là a > b hoặc a = b.

  • Ký hiệu  có nghĩa là a < b hoặc a = b.

Ví dụ 1: So sánh các số thực

• a) 2024 [?] 1998: 2024 > 1998

• b) -34,2 [?] -29: -34,2 < -29

• c)  [?] : 

1.2. Khái niệm bất đẳng thức

• Ta gọi hệ thức dạng a > b (hay , , ) là một bất đẳng thức.

• a được gọi là vế trái, b được gọi là vế phải của bất đẳng thức.

Ví dụ 2: Xác định vế trái và vế phải

• a) -6 < -4: Vế trái là -6, vế phải là -4.

• b) : Vế trái là , vế phải là 0.

1.3. Tính chất bắc cầu

• Lý thuyết: Nếu a < b và b < c thì a < c.

• Lưu ý: Tính chất này cũng đúng với các dấu >, ≥, ≤.

Ví dụ 3: Chứng minh bất đẳng thức

• Chứng minh 

• Hướng dẫn giải:

  • Ta có .

  • Ta có 

  • Vì  và , theo tính chất bắc cầu, ta suy ra .

2. Liên Hệ Giữa Thứ Tự và Phép Cộng

• Tính chất: Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức, ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều.

• Công thức:

  • Nếu a < b thì a + c < b + c.

  • Nếu  thì .

  • Tương tự với dấu > và ≥.

Ví dụ 4: Áp dụng tính chất phép cộng

Không thực hiện phép tính, hãy so sánh 2025 + (-26) và 2024 + (-26)

• Hướng dẫn giải:

  • Ta có 2025 > 2024.

  • Cộng (-26) vào cả hai vế, ta được 2025 + (-26) > 2024 + (-26).

3. Liên Hệ Giữa Thứ Tự và Phép Nhân

• Tính chất:

  • Khi nhân cả hai vế với một số dương, bất đẳng thức cùng chiều.

  • Khi nhân cả hai vế với một số âm, bất đẳng thức đổi chiều.

• Công thức: Với ba số a, b và c:

  • Nếu c > 0: a < b suy ra ac < bc

  • Nếu c < 0: a < b suy ra ac > bc

  • Tương tự với các dấu ≤, ≥

Ví dụ 5: Áp dụng tính chất phép nhân

Thay [?] trong các biểu thức sau bởi dấu thích hợp (<, >):

• a) 

  • Hướng dẫn giải: Ta có -11,5 < 2,2 và 35 > 0. Nhân cả hai vế với số dương, ta giữ nguyên chiều: .

• b) 

  • Hướng dẫn giải: Ta có -11,5 < 2,2 và -35 < 0. Nhân cả hai vế với số âm, ta đổi chiều: .